\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B. E. P{}. C.},
pdftitle = {Orléans juin 1969},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Orléans}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Orléans juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression 
\[A(x) = (5x + 3)(x - 2)^2 - 4(5x + 3),\]
puis résoudre l'équation $A(x) = 0$.
\item On considère la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{(5x + 3)(x - 2)^2- 4(5x + 3)}{x(x + 1)(x - 4)}.\]

Indiquer l'ensemble de définition de cette fraction et simplifier $F(x)$ ; on appellera $F'(x)$ la fraction obtenue.
\item Résoudre l'équation $F'(x) = 1$.
\item Dans un système d'axes orthonormé (le centimètre étant l'unité de longueur) construire la représentation graphique de chacune des fonctions
\begin{center}$y = 5x + 3$\qquad et\qquad $y = x + 1$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentatives et l'aire du triangle
compris entre ces deux droites et l'axe $y'\text{O}y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un angle $\widehat{x\text{A}y} = 60\degres$ et, sur [A$x$, deux points B et C, tels que AB $= 5$~cm et AC $= 8$~cm.

La perpendiculaire à [A$x$ en B coupe [A$y$ en D et la perpendiculaire menée de C à [A$y$ coupe [A$y$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ADB et ACE sont semblables.
\item Calculer les longueurs des segments [AE] et [AD].

En déduire que les triangles ADC et ABE sont semblables.

Calculer leur rapport de similitude.
\item Calculer les longueurs des segments [BD] et [EC], puis celles des segments [EB] et [DC].
\item Montrer que les quatre points B, C, E et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre,O, et dont on calculera le rayon.

Évaluer la puissance du point A par rapport à ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}