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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Orléans-Tours juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ définie par
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to& \R,\\
&x& f(x) = (4 - 3x)(1 - x) -\left(16 - 9x^2\right) + 6x(4 - 3x).
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $f(x)$ sous forme d'une fonction polynôme de degré 2.
		\item Factoriser la fonction polynôme $f(x)$.
		\item Déterminer l'image par $f$ de chacun des réels suivants:
\begin{center}$\dfrac32, \quad 0,\quad \sqrt 2$\quad et\quad $- 2$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction rationnelle définie par
 \[g(x) = \dfrac{- 6x^2 +17x - 12}{(4 - 3x) (- x + 5)}\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition fonction rationnelle.
		\item Simplifier l'écriture de $g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère cartésien \Oij{} tracer la représentation graphique des fonctions affines définies de $\R$ dans $\R$ par
\begin{center}$x \longmapsto - x + 5$\quad et $x \longmapsto  2x - 3$.\end{center}

Peut-on en déduire le réel $x$ tel que $g(x) = 1$ ?

Vérifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien, on considère un triangle (A, B, C) rectangle en A tel que $d$(A, C) $= 8$ et $d$(B, C) $= 10$.

Soit H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B), $d$(C, H), $d$(B, H) et $d$(A, H).

Déterminer la valeur du sinus et de la tangente de l'angle géométrique 
$\widehat{\text{ABC}}$.
\item Soit D l'intersection de la droite (AH) et du cercle de centre B passant par A.

Montrer que la droite (AC) est tangente en A au cercle de centre B et que la droite (BC) est médiatrice du segment [AD].
\item La parallèle menée par le point H à la droite (AB) 
coupe la droite (BD) en un point M.

Montrer que M est le milieu du segment [BD].
\end{enumerate}
\end{document}