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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Orléans-Tours}}
\rfoot{\small{juin 1974}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Orléans-Tours juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (3x + 2)^2 - (2x - 3)^2,\\
g(x) &=& (5x - 1)^2 + (1 - 5x)(2x + 3)
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par 
\[h(x)= \dfrac{(5x- 1)(x + 5)}{(5x - 1)(3x - 4)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner son ensemble de définition.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 2\right)$ ; rendre le dénominateur rationnel.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les inéquations
\begin{center} $x + 5 > 0$\qquad  et \qquad $3x - 4 < 0$.\end{center}

En déduire le signe de $h(x)$ si $x \in  \left]- 5~;~\dfrac42\right[$.
\item  Dans un repère orthonormé \Oij{} construire les représentations graphiques des fonctions $A$ et $B$, de $\R$ dans $\R$, telles que
\begin{center}$A(x) = x + 5$ \quad et \quad $B(x) = 3x - 4$.\end{center}

En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $h(x) = 1$.

Retrouver ce dernier résultat par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé on place les points A, B et C dont les coordonnées sont respectivement
\begin{center}A$(-4~;~-2)$, \quad  B(6~;~3)\quad et\quad  C(4~;~7).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OB}}$ à l'aide de $\vect{\imath}$ et de $\vect{\jmath}$  et montrer que A, O et B sont alignés.
\item Calculer AB, BC et CA (on désigne par AB $= d$(A, B) la distance des points A et B).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Calculer la valeur de la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAC}}$.

En utilisant les tables de trigonométrie, donner un encadrement, de largeur $1\degres$, de cet écart angulaire.
\item La médiatrice $(\Delta)$ de [AB] coupe [AC] en M.

Montrer que M est le milieu de [AC].

Calculer les coordonnées de M.

Tracer le cercle $(\mathcal{C})$ de centre M et de rayon [MA].

Montrer qu'il contient les points C et B.

Ce cercle $(\mathcal{C})$ coupe la droite (BM) en D.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\end{enumerate}
\end{document}