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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Orléans--Tours juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que : 
\[f(x) = 4x^2 - 49.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images par $f$ des nombres: $\dfrac72, \quad ; \sqrt 7 - 2$.
		\item Déterminer les nombres réels, s'ils existent, ayant pour image par $f$ les
nombres : 15, \quad  0.
		\item L'application $f$ est-elle une bijection sur $\R$ ?
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[g(x) = (7 - 2x) (x + 5) - (21 - 6x) (2x - 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer $g(x)$ et l'écrire sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item Écrire $g(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par :
\[F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{E}$ de $F$.
		\item Simplifier, si cela est possible, $F(x)$.
		\item Calculer $F\left(\sqrt 3\right)$ ; rendre le dénominateur rationnel.
		\item Sachant que : $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement de $F\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthonormé \Oij, construire les représentation graphiques 
		$\left(D_1\right)$ et v des fonctions $f_1$ et $f_2$ de $\R$ dans $\R$ telles que :

\begin{center}$f_(x) = 2x + 7$\quad et \quad $f_2(x) =5x - 8$.\end{center}

		\item Résoudre graphiquement l'équation :
		\[F(x) = 1.\]
		\item Retrouver ce dernier résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Dans un repère orthonormé \Oij, on place les points B, I, A dont
les coordonnées sont respectivement :
\begin{center}B(1~;~3), \quad I$\left(\dfrac52~;~2\right)$, \quad A$\left(\dfrac92~;~5\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les composantes (ou coordonnées) des vecteurs $\vect{\text{AI}}$ et $\vect{\text{BI}}$.

En déduire que les droites (AI) et (BI) sont orthogonales.
\item Soit C le symétrique du point B dans la symétrie orthogonale d'axe (AI).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point C.
		\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances $d$(A, I) et $d$(B, I).
		\item Calculer la valeur de la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.
	
En utilisant les tables de trigonométrie, donner un encadrement, de largeur $1\degres$, de cet écart angulaire.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (A, B, D, C) soit un parallélogramme.

Est-ce un losange ? Pourquoi ?

Est-ce un rectangle ? Pourquoi ?

\end{enumerate}

\medskip

\emph{Chaque candidat devra être en possession :
\begin{itemize}
\item d'un texte,
\item d'une feuille de papier millimétré à utiliser par moitié pour chaque problème ;
\item de tables trigonométriques.
\end{itemize}}
\end{document}