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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$\[\begin{array}{l c l}
 définies par
f(x)&=&(2x - 3)^2- (x + 5)(3 - 2x) - \left(4x^2 - 9\right)\:\text{ et}\\
g(x)& =& (2x - 3)(5 x - 1) - (4x - 6)(x + 2) + 2(2x - 3)(- 2x + 5).
\end{array}\]

Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{(2x - 3)(x - 1)}{(3 - 2x)(x - 5)}.\]

Donner son ensemble de définition $\mathcal{E}$.

Simplifier h(x).

Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ en rendant le dénominateur rationnel.
\item Résoudre, dans $\mathcal{E}$, les équations suivantes
\[h(x) = 0,\quad h(x) = 1,\quad  h(x) =7.\]

\item Construire dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} les représentations graphiques des deux fonctions affines définies par
\begin{center}$p(x)= x - 1$\quad  et \quad $q(x)= - x + 5$.\end{center}

Déterminer par le calcul les coordonnées de leur point
d'intersection.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij. 
Placer les points
\begin{center}(1~;~1), \quad B(4~;~0),\quad  C$(3~;~- 3)$\quad  et \quad D$(0~;~- 2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un parallélogramme.

Déterminer les coordonnées de son centre I.
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(B, C) et $d$(A, C).

En déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle isocèle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les quatre points A, B, C et D appartiennent à un cercle 
		$(\mathcal{C})$, dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Montrer que le point O appartient à $(\mathcal{C})$.
		\item Calculer la valeur du cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique 
		$\widehat{\text{ODB}}$.

Sachant que $2,236$ est une valeur approchée par défaut de $\sqrt 5$,déterminer à l'aide des tables un encadrement de largeur $1\degres$ de $\widehat{\text{ODB}}$
	\end{enumerate}
\item Soit E le symétrique de B dans la symétrie de centre A.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point E.
		\item Que représente la droite (AD) pour le segment [BE] ?
		
Que peut-on conclure pour le triangle (E, B, D) ?

En déduire que la droite (ED) est tangente au cercle $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}