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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions polynômes $p$ et $q$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
p(x) &=& (7x +2)^2 - (4x - 3)^2\\
q(x) &=& 18x^2 + 60x + 50
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $p(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Écrire $p(x)$ et $q(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier degré.
		\item Calculer $p(2),\:p\left(- \dfrac12\right)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $p(x) = q(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction rationnelle $f$, de $\R$ vers $\R$, définie par
\[f(x) = \dfrac{p(x)}{11x - 1}.\]
Déterminer son ensemble de définition, puis simplifier $f(x)$.
\item Soit la fonction $g$, de $\R$ vers $\R$, définie par $g(x) = 3x + 5$.

Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles égales ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, construire la représentation graphique de $g$.
		\item On donne les points A$(-5~;~2)$ et B$(3~;~-6)$.
		
Soit $h$ la fonction qui a pour représentation graphique la droite (AB).

Déterminer $h$.
		\item Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = h(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points:
\begin{center}A$(-7~;~3)$ ;\quad B(1~;~7);\quad C(4~;~1);\quad D$(-4~;~-3)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu I de (A, C).
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$.

En déduire que les droites (AB) et (AD) sont orthogonales.
\item Démontrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un rectangle.
\item Déterminer les distances $d$(A, B), $d$(A, C), $d$(B, D).
\item Calculer le sinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$, puis déterminer à l'aide des tables trigonométriques un encadrement de largeur $1\degres$ de cet écart angulaire.
\item Quelles sont les coordonnées du point E, image du point D dans la translation de vecteur $\vect{\text{AI}}$ ?

Démontrer que le quadruplet (D, E, C, I) est un losange.

Démontrer que les droites (IE) et (AB) sont orthogonales.
\end{enumerate}
\end{document}