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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small juin 1985}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'application de $\R$ dans $\R$ définie, pour tout réel $x$, par

\[f(x)= \left(9x^2 - 12x + 4\right) - (3x - 2)(5x - 3).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Calculer $f\left(- 2\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(m)= - 2$.
		\item $f$ est-elle une bijection de $\R$ dans $\R$ ? pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations :
	\begin{enumerate}
		\item $(3x - 2)(-2x + 1)=0$ ;
		\item $\dfrac{-2x+ 1}{4} + \dfrac{3x - 2}{2} = x - \dfrac34$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les inéquations :
	\begin{enumerate}
		\item $3x - 2 \leqslant 0$;
		\item $-2x + 1 < 0$.
		\item En déduire le signe du produit
$(3x - 2)(-2x + 1)$ sur l'intervalle $\left]\dfrac12~;~~\dfrac23\right[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points :

\begin{center}A$(-1~;~-2)$\:;\qquad B$(2~;~-1)$\:;\qquad C$(-3~;~0)$\:;\qquad D$(4~;~-3)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera par la suite.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? 

Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OB}}$ sont orthogonaux, puis calculer leurs normes.
		\item En déduire la nature du triangle OBA.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du centre I du
cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle OBA.
		\item Calculer le rayon du cercle $(\mathcal{C})$.
		\item Soit le point E$(0~;~-3)$. E appartient-il à ce cercle ?
	\end{enumerate}
\item Soit le point F(1~;~- 3). Quelle est la nature du quadrilatère OAFB ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}