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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible:

\begin{enumerate}
\item $A = 2 - \dfrac{21}{14} +  \dfrac{1}{12}$.
\item $B = - \dfrac{11}{5} \times \dfrac{15}{44}$.
\item $C = \dfrac{\phantom{-}\dfrac{5}{11}}{- \dfrac{35}{22}}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) = (x +3)^2 - (2x -7)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$ ; réduire et ordonner selon les puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f(10)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité étant le centimètre, construire un triangle ABC rectangle en B tel que BA = BC $= 4$.

Sur la demi-droite d'origine A contenant B, placer le point D tel que AD $= 12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que AC $= 4\sqrt 2$ (ou $\sqrt{32}$).
\item On appelle E le projeté de B sur (AC) parallèlement à (DC).

En utilisant l'énoncé de Thalès, calculer AE.
\item Calculer CD puis le sinus de l'angle géométrique $\widehat{\text{CDB}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère les points A, B, C définis par A$(-6~;~3)$, B$(- 1~;~5)$, C$(3~;~-5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$, $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{CA}}$.
\item Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
\item Démontrer que les points A, B, C appartiennent à un cercle dont on calculera les coordonnées du centre I.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Pour effectuer le transport de marchandises, on a la possibilité de s'adresser à deux entreprises A et B qui proposent les conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item Tarif entreprise A : 2 F par kilomètre parcouru.
\item Tarif entreprise B : Prise en charge de 210~F indépendante du kilométrage, à laquelle on doit ajouter $1,70$~F par kilomètre parcouru.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien paie-t-on dans chaque cas pour parcourir $100$~kilomètres ? \np{1000}~kilomètres ?
\item $x$ étant le nombre de kilomètres parcourus, on  note $f(x)$ le prix demandé par l'entreprise A, $g(x)$ le prix demandé par l'entreprise B.

Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
\item Représenter avec soin (sur papier millimétré) dans un même repère les fonctions obtenues précédemment pour $x \in [0~;~\np{1000}]$ (abscisses : 1~cm pour
$100$~km ; ordonnées : 1~cm pour $100$~F).
\item Calculer pour quel kilométrage les deux factures sont les mêmes. 

Quel est alors le prix à payer ? 

Expliquer comment retrouver ce résultat sur le graphique.
\end{enumerate}
\end{document}