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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%pdfauthor = {APMEP},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne $a = \dfrac{5}{14}$ et $b = -\dfrac{2}{35}$.

Calculer $a + b$ et $\dfrac a b$.

Donner les résultats sous la forme de fractions irréductibles. 

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $A = \sqrt{80} - 10\sqrt{20} + 2 \sqrt{45}$.

Écrire $A$ sous la forme $a\sqrt{5}$ avec $a \in \Z$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ étant un nombre réel, on pose

\[g(x) = (2x - 5)(3x + 1) - 10x + 25.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $g(x)$.
\item Factoriser $g(x)$.
\item Calculer $g(2,5)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie: exercices géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dessiner un triangle isocèle ABC tel que AB = AC et de hauteur [AH].

Soit M, le milieu de [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans la translation de vecteur $\vect{\text{DM}}$, A a pour image A$'$.

Quelle est la nature du quadrilatère AA$'$MB ? 

Justifier la réponse.
\item Dans la symétrie de centre M, B a pour image B$'$. 

Quelle est la nature du quadrilatère ABCB$'$ ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le dessin ci-dessous représente une pyramide, dont les faces EHD et DHG sont rectangles en H.

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(4.5,2.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.3)(4,0.7)(1.5,2.5)%EGD
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.5,0.7)(4,0.7)%EHG
\psline[linestyle=dashed](1.5,0.7)(1.5,2.5)%HD
\uput[dl](0.3,0.3){E} \uput[r](4,0.7){G} \uput[u](1.5,2.5){D} \uput[d](1.5,0.7){H} 
\psframe(1.5,0.7)(1.7,0.9)\psline(1.5,0.9)(1.3,0.8)(1.3,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

Faire le dessin de cette pyramide et le compléter au fur et à mesure des questions.

Soit M, R et N, milieux respectifs de [DG], [EG] et [DE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (MR) est parallèle à (DE).
\item Démontrer que (NR) est parallèle à (DG).
\item Exprimer DE en fonction de MR, et DG en fonction de NR.
\item Quelle doit être la nature de la face DEG de la pyramide pour que le quadrilatère DMRN soit un losange ?

Justifier la réponse.

En déduire qu'alors EH = HG.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie: exercices géométriques }

\medskip

Pour préparer le mélange de carburant de son bateau hors-bord, M. Dupont doit ajouter $3$ litres d'huile à $100$ litres d'essence.

\medskip

\begin{enumerate}
\item S'il met $15$ litres d'essence dans son réservoir, quelle quantité d'huile doit-il ajouter ?
\item M. Dupont navigue habituellement à la vitesse de $16$ km/h.

À cette vitesse, il consomme $4$ litres de mélange à l'heure. 

Son réservoir d'une contenance de $20$ litres étant plein de mélange au départ, pendant combien de temps pourra-t-il naviguer ? 

Quelle distance pourra-t-il parcourir ?
\end{enumerate}

\emph{La suite du problème utilise le plan ci-après pour lequel $1$ cm représente $1$ km.}

\begin{enumerate}[resume]
\item M. Dupont doit partir du port A pour se rendre au port B; on ami, M. Martin doit partir du port E pour aller dans un îlotI. Avant de partir, ils décident par téléphone de se rencontrer sans modifier les trajets prévus. (Ils navigueront
tous les deux en ligne droite.)
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner, comme sur ce plan, le système d'axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ en représentant 1 km par 1 cm en abscisse et en ordonnée. 

Placer sur ce plan les points A, B, E, I ayant respectivement pour coordonnées

\[(-4~;~-1)\:;\quad (3~;~4)\:;\quad (2~;~1)\:;\quad (-3~;~2).\]

		\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point rencontre R de M. Dupont et M. Martin.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-6,-3)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-3)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]

\psdots(-4,-1)(-3,2)(2,1)(3,4)%IEB
\uput[u](-3,2){I}\uput[r](2,1){E}\uput[dr](3,4){B}\uput[ur](-4,-1){A}
\uput[u](6.5,0){$x$}\uput[r](0,6.5){$y$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5.5,-0.5)(-4,-1)(-3,-1.5)(-2,-1.8)(-1,-1.5)(0,0)(1,-0.25)(2,1)(3,4)(4,4.8)(5,5)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5.5,-0.5)(-4,-1)(-3,-1.5)(-2,-1.8)(-1,-1.5)(0,0)(1,-0.25)(2,1)(3,4)(4,4.8)(5,5)
\psline(5,5)(5,-3)(-5.5,-3)(-5.5,-0.5)
}
\rput(-4.5,6){MER} \rput(1.75,7){NORD}\rput(-5,1){OUEST}\rput(1,-2.5){SUD} \rput(3.5,-1.5){TERRE}
\rput(5,0.5){EST}\rput(4.5,5.3){CÔTE}
\end{pspicture}
\end{center}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (EI).
		\item Vérifier que $5x - 7y + 13 = 0$ est une équation de la droite (AB).
		\item En déduire par le calcul les coordonnées du point R.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'unité choisie étant le km, calculer la distance de à B. (On donnera le résultat à un hectomètre près par défaut.
		\item Le réservoir étant plein de carburant au départ, M. Dupont peut-il faire l'aller et retour en naviguant à la vites habituelle, sans remettre de carburant ? 
		
Expliquer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}