\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Orléans--Tours juin 1991},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1991}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $A = (4t + 1)^2$.
\item Factoriser $B = (3x + 1)(x + 1) - (3x + 1)(2x - 1)$. 
\item Écrire $C = 3 - 2 \times \dfrac53$ sous forme d'une fraction.
\item Trouver les valeurs de $x$ et de $y$ vérifiant le système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y &=&7\\
8x - \phantom{3}y &=&2
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $\sqrt{300}$ et $3\sqrt{12}$ sous la forme $a\sqrt 3$
où $a$ est un nombre entier.
\item Utiliser ces expressions pour simplifier l'écriture du nombre : 

\[D =\sqrt 3 - \sqrt{300} + 3\sqrt{12}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un groupe d'élèves a analysé un lot de pelotes de réjection d'une chouette effraie.

Leurs observations sont résumées dans les premières lignes du tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&campagnols &mulots &musaraignes 	&divers (taupes...)	&TOTAL\\ \hline
Effectifs		& 244		& 114 	&106			&14					&\\ \hline
Fréquence en\,\%&			&		&				&					&100\,\%\\ \hline
Angles en degrés&			&		&				&					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On veut représenter ces fréquences par un diagramme semi-circulaire .

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter ce tableau (tous les résultats, fréquences en pourcentage et angles en degrés pour le diagramme semi-circulaire, seront arrondis à l'unité).
\item Dessiner le diagramme sur la copie en prenant un diamètre de $10$cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Laisser les traits de construction}

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AC $= 5$~cm et BC $= 13$~cm.
\item Soit D le milieu du segment [BC].

Quelle est la longueur du segment [DA] ? Justifier.
\item Construire le point E symétrique de B par rapport à la droite (AD).
\item Construire le point F image de D par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) avec OI = OJ = 1~cm.

A a pour coordonnées $(2~;~- 4)$.

B a pour coordonnées $(- 2~;~8)$.

La droite $\Delta$ a pour équation $y = \dfrac12 x + 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les points A et B et la droite $\Delta$\ dans le repère
(O, I, J).
\item Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

Ecrire le numéro de la réponse exacte dans la colonne de droite.

Attention, le barème de cet exercice est le suivant :

\begin{description}
\item[ ] 1 point pour une bonne réponse,
\item[ ] $- 0,5$ point pour une réponse fausse,
\item[ ] $0$~point s'il n'y a pas de réponse.
\end{description}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Réponse 1&Réponse 2&Réponse 3&Numéro de la réponse choisie\\ \hline
Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées&(0~;~2)&$(- 2~;~6)$& (0~;~4)&\\ \hline
Le vecteur $\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées&(-4~;~12)&(0~;~4)&$(-4~;~-32)$&\\ \hline
La droite (AB) a pour équation &$y = \dfrac13x + 5$&$y = -2x$&$y =-3x + 2$&\\ \hline
La distance de A à B est&14&$\sqrt{160}$&$\sqrt{- 128}$&\\ \hline
Dans ce repère une parallèle à la droite $\Delta$ a pour coefficient&3&$-2$&$\dfrac12$&\\ \hline
Si dans ce repère une droite
a pour équation: $y = - 2x$
alors elle est&parallèle
à la droite  $\Delta$&perpendicu\-laire à la droite  $\Delta$&parallèle  à l'axe des abscisses&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}

Le trophée ci-contre est constitué d'une boule, d'un cône et d'un cylindre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-0.1)(0.7,1.9)

\psellipticarc(0,0)(0.35,0.175){180}{360}
\psellipticarc(0,0.2)(0.35,0.175){150}{390}
\psellipticarc(0,1.2)(0.6,0.2){180}{360}
\psellipticarc(0,0.35)(0.2,0.1){180}{360}
\psarc(0,1.2){0.6}{0}{180}
\psline(0.6,1.2)(0.2,0.35)
\psline(-0.6,1.2)(-0.2,0.35)
\psline(0.35,0)(0.35,0.2)
\psline(-0.35,0)(-0.35,0.2)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

Voici une section de ce trophée qu'on ne demande pas de reproduire sur la copie.

\medskip
\begin{itemize}
\item La boule est représentée par le cercle de centre O.
\item Le cône est représenté par le triangle isocèle AKL.
\item Le cylindre est représenté par le rectangle TUVW.

Les droites (AK) et (AL) sont tangentes au cercle.
\end{itemize}

Les droites (KL) et (MN) sont perpendiculaires à l'axe de symétrie (AS) de la figure.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-4.2)(1.2,1.8)%fig
%\psgrid
\pscircle(0,0){1.43}
\pspolygon(-1.3,-0.6)(1.3,-0.6)(0,-3.9)
\psline(0,1.5)(0,-3.9)%SA
\psline(-0.1,0)(0.1,0)
\psframe(-1.1,-3.9)(1.1,-3.1)%TUVW
\uput[u](0,1.5){S} \uput[r](0,0){O} \uput[l](-1.3,-0.6){K} \uput[dr](0,-0.6){I}
\uput[r](1.3,-0.6){L} \uput[ul](-1.1,-3.1){W} \uput[ul](-0.35,-3.1){M} 
\uput[ur](0,-3.1){J}\uput[ur](0.35,-3.1){N} 
\uput[ur](1.1,-3.1){V} \uput[dr](1.1,-3.9){U} \uput[d](0,-3.9){A}
\uput[dl](-1.1,-3.9){T}
\psframe(0,-0.6)(-0.15,-0.75)
\psframe(0,-3.1)(-0.15,-3.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

 On donne KI $= 6$ cm; AK $= 15,6$ cm et MJ $= 1,5$ cm. 
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item En considérant le triangle AIK, démontrer que
AI$= 14,4$~cm.
\item En utilisant le même triangle démontrer que $\dfrac{\text{AJ}}{\text{AI}} = \dfrac14$.
\item Calculer la valeur arrondie à 0,1 degré près de l'angle
$\widehat{\text{KAI}}$.
\item Prouver que le triangle OAK est un triangle rectangle.
\item En utilisant le résultat du 3. dans le triangle OAK, calculer la valeur arrondie au millimètre près du rayon OK.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On appelle $\mathcal{C}$ le cône de sommet A dont la base est le disque de diamètre [KL].

 On appelle $\mathcal{C}'$ le cône de sommet A dont la base est le disque de diamètre [MN].
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la base du cône $\mathcal{C}'$.
\item Calculer le volume du cône$\mathcal{C}'$. En donner la valeur arrondie au cm$^3$.
\item En utilisant le résultat du I. 2, trouver par quel nombre il faut multiplier le volume du cône $\mathcal{C}'$ pour obtenir celui du
cône $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}