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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1993}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

Écrire le numéro de la réponse exacte dans la colonne de droite.

ATTENTION, le barème de cet exercice est le suivant:

\begin{description}
\item[ ] 0,75 point pour une bonne réponse. 
\item[ ] $- 0,5$ point pour une réponse fausse.
\item[ ] $0$ point s'il n'y a pas de réponse.
\end{description}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5cm}|}\hline
								&Réponse numéro 1	&Réponse numéro 2	&Réponse numéro 3	&\No de la réponse choisie\\ \hline
$\left(3\sqrt{2}\right)^2 =$	&6					&12					&18					& \\ \hline
$\sqrt{80} =$					&40					&$4\sqrt 5$			&$2O\sqrt 2$		&\\ \hline
Si $x = \sqrt 3$ alors $x^2+3x - 1 =$&$4+3\sqrt 5$	&$7\sqrt 5$			&$24+3\sqrt 3$		&\\ \hline
$\left(x + \dfrac13\right)^2 =$	&$x^2+\dfrac19$		&$x^2 + \dfrac23 x + \dfrac19$&$x^2 + 2x + \dfrac19$&\\ \hline 
$x^2 - 36 =$					&$(x - 6)^2$		&$(x+6)^2$			&$(x - 6)(x + 6)$	&\\ \hline
$ (3x + 2)(x - 5) = $			&$3x^2 - 10$		&$3x^2+17x-10$		&$3x^2 - 13x - 10$	&\\ \hline
L'équation $- 2x- 9 = 0$ a pour solution&$\dfrac92$	&$- \dfrac92$		&$\dfrac29$			&\\ \hline
La représentation graphique des solutions de l'inéquation
$x - 5  \leqslant 3x - 4$ est : (ce qui est rayé ne convient pas)
								&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.2,-0.5)(1.2,0.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,0)(1.2,0)
\psframe[linewidth=0pt,fillstyle=vlines](-1.2,-0.2)(0.48,0.2)
\uput[d](0.5,0){$\frac12$}\end{pspicture}			&\begin{pspicture}(-1.2,-0.5)(1.2,0.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,0)(1.2,0)
\psframe[linewidth=0pt,fillstyle=vlines](-1.2,-0.2)(-0.5,0.2)
\uput[d](-0.5,0){$-\frac12$}
\end{pspicture}										&\begin{pspicture}(-1.2,-0.5)(1.2,0.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,0)(1.2,0)
\psframe[linewidth=0pt,fillstyle=vlines](-0.5,-0.2)(1.2,0.2)
\uput[d](-0.5,0){$-\frac12$}
\end{pspicture}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La secrétaire d'un collège a acheté $22$ timbres, les uns à $2,50$~F et les autres à $2,20$~F{}. Elle a payé en tout $52,90$~F{}.

Combien de timbres de chaque sorte a-t-elle achetés ?

Justifier la réponse.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au CDI du collège, le documentaliste a récapitulé dans le tableau ci-dessous, le nombre de livres empruntés par niveau durant l'année scolaire.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Classes			& 6\up{e}	& 5\up{e}	& 4\up{e}	&3\up{e}	&Total\\ \hline
Nombre d'élèves & 120 		&110 		&92			&96			&418\\ \hline
Nombre de livres 
empruntés		&\np{2540} 	&\np{1875} 	&\np{1835}	&\np{1250}	&\np{7500}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre moyen de livres empruntés par un élève de 3\up{e} ? Arrondir le résultat à l'unité.
\item Calculer le pourcentage représenté par le nombre de livres empruntés par les élèves de 5\up{e}  par rapport au nombre total de livres empruntés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.7,3.4)
\pspolygon(0.3,1)(8,1)(8,0.3)(0.3,1.9)%AA'B'B
\psframe(0.3,1)(0.5,1.2)\psframe(8,1)(7.8,0.8)
\uput[d](0.3,1){A} \uput[u](8,1){A$'$} \uput[ul](0.3,1.9){B} \uput[dr](8,0.3){B$'$} \uput[d](4.8,1){O} 
\end{pspicture}

(Le schéma ne respecte pas les dimensions)
\end{center}

Sur le schéma ci-dessus :

Les droites (AB) et (A$'$B$'$) sont perpendiculaires à la droite (AA$'$). 

On donne : AB $= 15$~cm  ;\:  OA $= 36$~cm ;\:  A$'$B$' = 3$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles.
\item Calculer la distance OA$'$. Préciser la propriété utilisée.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$, arrondir le résultat au degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(8.6,0.2)(3.2,2.8)%ACB
\pspolygon(4.4,0.2)(5.9,1.5)(1.7,1.5)%PNM
\def\trait{\psline(0,0.2)(0,0)}
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[u](3.2,2.8){B} \uput[dr](8.6,0.2){C}
\uput[ul](1.7,1.5){M} \uput[ur](5.9,1.5){N} \uput[d](4.4,0.2){P} 
\rput(0.95,0.8){\trait}\rput(2.45,2.1){\trait}
\rput(4.3,2.2){\trait}\rput(4.4,2.1){\trait}\rput(4.5,2){\trait}
\rput(7.1,0.8){\trait}\rput(7.2,0.75){\trait}\rput(7.3,0.7){\trait}
\rput(2.1,0.15){\trait}\rput(2.2,0.15){\trait}
\rput(6.5,0.15){\trait}\rput(6.6,0.15){\trait}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le triangle ABC, les points M, N et P sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser sans justification la nature des quadrilatères AMNP, MBNP et PMNC.
\item Écrire alors deux vecteurs égaux au vecteur MN. 
\item Écrire un vecteur égal à $\vect{\text{DM}} + \vect{\text{SN}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%fig

On se place dans un repère orthonormal (O, I, J).

On donne les points A$(- 10~;~2)$ et B(0~;~6). 

La droite $\Delta$ a pour équation : $y = 0,42x- 2$.

Un élève affirme : \og  Les droites (AB) et $\Delta$ sont parallèles \fg.

A-t-il raison ? Justifier la réponse.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{minipage}{0.73\linewidth}
Un jouet \og Culbuto \fg{} est constitué d'une demi-boule de rayon 4 cm surmontée d'un cône de même rayon et de hauteur 9 cm.

Calculer le volume en cm$^3$ de ce jouet (arrondir le résultat au cm$^3$).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.7,-1.2)(1.2,2.5)
\psellipticarc(0,0)(1.1,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.1,0.4){0}{180}
\psarc(0,0){1.1}{180}{360}
\psline(-1.1,0)(0,2.5)(1.1,0)
\psline[linestyle=dashed](-1.1,0)(1.1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,2.5)
\uput[d](0.55,0){$R$}\uput[l](0,1.25){$h$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5.2)
\pspolygon(0,0.2)(9.8,0.2)(7.3,4.3)%BCA
\psline(7.3,4.3)(7.3,0.2)%AI
\psline(4.9,0.2)(7.3,1.6)%FK
\psframe(7.3,0.2)(7.5,0.4)
\uput[u](7.3,4.3){A} \uput[l](0,0.2){B} \uput[r](9.8,0.2){C}
\uput[d](4.9,0.2){F} \uput[d](7.3,0.2){I} \uput[r](7.3,1.6){K}
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité est le centimètre ; AB $= 6 \sqrt 3$ ; BC $= 12$ ; AC $=6$. 3.



\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Démontrer que $\widehat{\text{ACB}} = 60\degres$.
\item [AI] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Démontrer que IC $= 3$.
\item F est le milieu de [BC]; K est le point de [AI] tel que (FK) soit parallèle à (AB).

Calculer IF puis IB. Montrer par le calcul que FK $= 2 \sqrt 3$.
\item Démontrer que FAC est un triangle équilatéral,
\item Le triangle équilatéral FAC va servir de base à une pyramide régulière
SAFC dont toutes les arêtes ont même mesure. On admet que [SK] est la hauteur de cette pyramide.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1.8,-0.2)(1.8,2.8)
\pspolygon(-1.65,0.2)(1.65,0.2)(0,2.5)%FCS
\pspolygon[linestyle=dashed](-1.65,0.2)(0.2,1.1)(0,2.5)(0,0.65)%FASKF
\psline[linestyle=dashed](1.65,0.2)(0.2,1.1)(-0.25,0.2)%CAI
\psline(0,0.85)(-0.2,0.77)(-0.2,0.58)
\uput[ur](0.2,1.1){A}  \uput[r](1.65,0.2){C}
\uput[l](-1.65,0.2){F} \uput[d](-0.25,0.2){I} \uput[r](0,0.65){K}
\uput[u](0,2.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Représenter à l'échelle $\dfrac12$ un développement (patron) de cette
pyramide.
		\item Montrer par le calcul que SK $= 2 \sqrt 6$.
		\item Sachant que l'aire de la base FAC de cette pyramide est $9\sqrt 3$ cm$^2$, calculer le volume exact de cette pyramide. 
		
Écrire le résultat obtenu sous la forme $a \sqrt b$ cm$^3$, avec $a$ et $b$ le plus petit possible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}