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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

On considère les nombres:

\[A = \dfrac{3,6 \times  10^4}{4 \times 10^6} ; \quad  B= \dfrac53 - \dfrac23 + \dfrac74 ; \quad C = \sqrt{180} - \sqrt{80}\]

En écrivant les différentes étapes des calculs : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture décimale de $A$.
\item Donner une écriture fractionnaire de $B$.
\item Écrire $C$ sous la forme $a \sqrt b$
où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 4,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $D$ l'expression définie par $D =(3x - 5)^2 + x(2x - 7)$.

Développer et réduire $D$.
\item Soit $E$ l'expression définie par $E = 36 - 25x^2$.

Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $4x(3 - x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 4,5 points}

\medskip

Lors d'une rentrée scolaire, les \np{352000} élèves de première d'enseignement général se répartissaient de la façon suivante :

\begin{description}
\item[ ] \np{76000} en section littéraire (L)
\item[ ] \np{86000} en section économique et sociale (ES)
\item[ ] \np{190000} en section scientifique (S).
\end{description}

Reproduire et compléter le tableau ci-dessous puis représenter cette répartition sous forme d'un diagramme semi-circulaire de rayon 4 cm.

Dans le tableau, les pourcentages seront arrondis à 0,1\,\% près, les angles seront arrondis à $1\degres$ près.

Le diagramme semi-circulaire sera accompagné d'une légende.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sections		&L 			&ES 		&S 			&Total\\ \hline
Nombres d'élèves&\np{76000}	&\np{86000}	&\np{190000}&\np{352000}\\ \hline
Pourcentages 	&			&			&			&$100\,\%$\\ \hline
Angles			&			&			&			&$180\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

L'unité est le centimètre.

Construire un triangle ABC tel que AC $= 6,4$, \: AB $= 8$,\: BC $= 4,8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle .
\item Placer sur le segment [AB] le point E tel que BE $= 3$.

Construire le point F projeté orthogonal de E sur [AC].

Démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
\item Calculer EF. Énoncer la propriété utilisée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Tracer un cercle (C) de centre O et de rayon 4 cm.

Placer un point A à 7 cm de O.

Le cercle de diamètre [OA] coupe le cercle (C) en M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle OAM est rectangle.

Que représente la droite (AM) pour le cercle (C) ? Justifier.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{OAM}}$ arrondie au degré près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Dans la figure ci-dessous STUV est un carré de centre O. M, N, K, L sont les milieux de ses côtés.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psframe(-2,-2)(2,2)
\pspolygon(-2,0)(0,2)(2,0)(0,-2)
\psline(-2,0)(2,0)\psline(0,2)(0,-2)
\psline(-2,2)(2,-2)\psline(-2,-2)(2,2)
\uput[ul](-2,2){S} \uput[ur](2,2){T} \uput[dr](2,-2){U}
\uput[dl](-2,-2){V} \uput[r](2,0){K} \uput[d](0,-2){L}
\uput[l](-2,0){M} \uput[u](0,2){N} \uput[d](-1,1){A}
\uput[d](1,1){B} \uput[u](1,-1){C} \uput[u](-1,-1){D}
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Quelle est l'image du triangle SNA :

\medskip

\begin{enumerate}
\item par la symétrie de centre O ?
\item par la rotation de centre O, d'angle $90\degres$ dans le sens indiqué par la flèche ?
\item par la symétrie d'axe (VT) ?
\item par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\bigskip

Le conseil municipal d'une ville décide de faire construire une piscine. Le cahier des charges impose que le bassin ait une longueur de $25$~m, une largeur de $10$~m et une profondeur maximale de $2$~m.

\medskip

\textbf{A. Projet \no 1 :}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(4.8,2.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1)(3.8,0.2)(3.8,1.2)(0.5,1.5)%CSIP
\psline(3.8,0.2)(4.7,0.7)(4.7,1.6)(3.8,1.2)%S%%I
\psline(4.7,1.6)(1.4,2)(0.5,1.5)%%P
\psline[linestyle=dashed](0.5,1)(1.4,1.4)(4.7,0.7)
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.4)(1.4,2)
\psframe(0.5,1.5)(0.7,1.3)
\psframe(3.8,1.2)(3.6,1)
\uput[ul](0.5,1.5){P} \uput[dl](0.5,1){C} \uput[d](3.8,0.2){S} \uput[u](3.8,1.2){I}
\uput[l](0.5,1.2){1}\uput[r](4.7,1.15){2} \uput[u](3.05,1.8){25}\uput[ul](0.95,1.75){10}
\end{pspicture}
\end{center}

Le bassin est un prisme droit représenté ci-dessus : le trapèze rectangle PISC est une base du prisme . la hauteur de ce prisme est $10$ (le dimensions sont en mètres).

Le fond est en pente régulière, avec une profondeur d'eau minimale de $1$ m et maximale de $2$ m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du trapèze PISC (on rappelle la formule
donnant l'aire d'un trapèze:
$A = \dfrac{(B + b) \times h)}{2}$)

\item En déduire le volume d'eau contenu dans la piscine remplie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B}

\medskip

Les futurs utilisateurs de la piscine sont alors consultés et demandent une nouvelle étude, souhaitant pour le fond une pente régulière plus douce que celle du projet \no 1.

Par ailleurs, les services techniques de la ville exigent de plus que le volume d'eau utilisé pour remplir la piscine ne dépasse pas $425$ m$^3$.

\medskip

\textbf{L'architecte propose alors un projet \no 2 :}

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(4.8,2.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1)(3.8,0.2)(3.8,1.2)(0.5,1.5)%CSIP
\psline(3.8,0.2)(4.7,0.7)(4.7,1.6)(3.8,1.2)%S%%I
\psline(4.7,1.6)(1.4,2)(0.5,1.5)%%P
\psline[linestyle=dashed](0.5,1)(1.4,1.4)(4.7,0.7)
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.4)(1.4,2)
\psframe(0.5,1.5)(0.7,1.3)
\psframe(3.8,1.2)(3.6,1)
\uput[ul](0.5,1.5){P} \uput[dl](0.5,1){C} \uput[d](3.8,0.2){S} \uput[u](3.8,1.2){I}
\uput[l](0.5,1.2){$x$}\uput[r](4.7,1.15){2} \uput[u](3.05,1.8){25}\uput[ul](0.95,1.75){10}
\end{pspicture}
\end{center}

Le bassin est un prisme droit.

La profondeur d'eau minimale exprimée en mètre est $x$, où $x$ est un nombre compris entre 1 et 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume en m$^3$ de l'eau contenue dans la piscine remplie est : $V = 125x + 250.$
\item Sur la feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal tel que:

\begin{itemize}
\item l'origine est placée en bas à gauche.
\item sur l'axe des abscisses, $5$ cm représentent 1 unité.
\item sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente $25$ unités.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite d'équation : $y = 125x + 250$.
		\item Repasser en couleur les points de la droite dont l'abscisse est comprise entre 1 et 2.
	\end{enumerate}
\item Les services techniques exigeant que le volume d'eau soit inférieur à $425$ m$^3$, il s'agit de déterminer quel encadrement de $x$ on peut en déduire. 

Répondre à cette question:
	\begin{enumerate}
		\item en utilisant le graphique de la question B 2 et en laissant apparents les tracés utilisés.
		\item en résolvant une inéquation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C.}

\medskip

Le Conseil municipal choisit de faire construire une piscine conforme au projet \no 2 mais contenant seulement un volume d'eau de $400$ m$^3$. Il s'agit alors de déterminer la profondeur minimale du bassin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Répondre à cette question :
	\begin{enumerate}
		\item à l'aide d'une lecture du graphique de la question B 2.
		\item En résolvant une équation.
	\end{enumerate}	
\item Pour présenter le projet à la population, on réalise une 
maquette à l'échelle $\dfrac{1}{50}$ de la piscine choisie.

Quel volume d'eau exprimé en litres, faudra-t-il verser dans le bassin de la maquette pour le remplir ?
\end{enumerate}
\end{document}