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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{septembre 1974}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Orléans-Tours septembre 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip


\begin{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme $p$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[p(x) = \left(9x^2 - 12x + 4\right) + (3x - 2)(x - 1) - \left(9x^2 - 4\right).\]

\smallskip
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $p(x)$ sous la forme d'un produit de binômes
du premier degré.
		\item Déterminer l'ensemble suivant: 
\[E = \left\{x/ x\in \D\quad \text{et}\quad p(x) = 0\right\}.\]
(On rappelle que $\D$ désigne l'ensemble des décimaux.)
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction rationnelle $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que
\[f(x) = \dfrac{(3x - 2)(x - 5)}{ (x - 5)(- x + 6)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de $f$, puis simplifier l'écriture de $f(x)$.
		\item Déterminer l'ensemble $E' = \left\{x/ x\in \R\quad \text{et}\quad f(x) = 1\right\}$.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions affines $g$ et $h$, de $\R$ dans $\R$, définies par
\begin{center}$g(x) = 3x - 2$\quad et \quad $h(x) =- x + 6$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement les fonctions $g$ et $h$ dans un même repère du plan $(P)$.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection M des droites $(D)$ et $(D')$ représentant respectivement $g$ et $h$.
		
Retrouver ainsi les résultats du 2. b.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij,
on considère les points A, B et C définis par
\[\vect{\text{OA}} = - \vect{\imath},\quad \vect{\text{OB}} = 3 \vect{\imath} + 3\vect{\jmath}\quad \text{et}\quad \vect{\text{OC}} =  \vect{\imath} + 4\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

Montrer que (A, B, C) est un triangle rectangle.
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique 
$\widehat{\text{ABC}}$, puis déterminer cet écart angulaire, en degrés, à l'aide des tables trigonométriques.
\item On désigne par A$'$ le symétrique de A par rapport à C et par B$'$ le symétrique de B par rapport à C.

Comparer $\vect{\text{AB}'}$ et $\vect{\text{BA}'}$.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, A$'$, B$'$) ?
\item Soit M et N les milieux respectifs de [AB$'$] et [BA$'$].

Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (AB).

En déduire que les points M, C et N sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}