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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Orléans-Tours septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{Exercice 1}\end{center}

\smallskip

On donne les applications
\[f :\begin{array}{l  c l}
\R&\to &\R\\
x& \longmapsto&(3x - 2)(x - 5) - \left(x^2 - 10x + 25\right)
\end{array}\]

\[g :\begin{array}{l  c l}
\R&\to &\R\\
x& \longmapsto&7 - 5x \phantom{(x - 5) - \left(x^2 - 10x + 25\right)}
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de polynômes du premier degré en $x$. 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Calculer $(g \circ f)(- 1)$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Exercice 2}\end{center}

On considère la fonction rationnelle $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[h : x \longmapsto h(x) = \dfrac{(x - 5)(2x + 7)}{(7 - 5x)(2x - 10)}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $h$.

Dans cet ensemble, simplifier $h(x)$.
\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ ; rendre le dénominateur rationnel.
\item Sachant que $\sqrt 3$ est compris entre les décimaux $1,732$ et $1,733$, donner un encadrement de $h\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Exercice 3}\end{center}

\smallskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on
considère les points :
\begin{center}A$(- 2~;~1)$, \quad B$(1~;~- 3)$, \quad  C(5~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure et calculer les coordonnées du milieu M de (A, C).

Déterminer le point D symétrique de B par rapport à M.
\item Trouver les coordonnées (ou composantes) des vecteurs $\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{BC}},\: \vect{\text{AC}}$.
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Quelle est la nature du quadruplet de points (A, B, C, D)? 

Justifier votre réponse.
\item Démontrer que les points A, B, C, D sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}