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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère deux fonctions polynômes $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définie par:
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(5x - 2)^2 - (3x + 6)^2\\
g(x)&=&(x - 4)^2 - (4 - x)(7x - 4).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de polynômes réduits et ordonnés,
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ les équations: 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = - 32$.
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ qui à $x$ associe 
\[h (x) =\dfrac{f(x)}{g(x)}.\]




	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$ ? 

Simplifier l'écriture de $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 2\right)$ : donner un résultat
ayant un dénominateur entier.
		\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ les équations :
		\[h(x) = 1, \qquad  h(x) = 3.\]
	\end{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, tracer les droites
$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives $y = 2x + 1$ et $y= x - 1$.

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection M.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points suivants définis par leurs coordonnées:
\begin{center}A$(-2~;~5)$, \qquad  B(1~;~2), \qquad  C(9~;~4).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].

Soit D le symétrique de B par rapport à I.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) (ou du quadrilatère ABCD).

Calculer le coordonnées du point D.
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux.

En déduire la nature des triangles ABD et BDC.
\item Calculer les distances AB et BD.

En déduire les distances DC et BC.

Déterminer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{DBC}}$, puis, à l'aide des tables trigonométriques trouver la valeur approchée à un degré près. par défaut, de cet écart angulaire.
\item Quelles sont les coordonnées du point E tel que $\vect{\text{BE}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BD}}$.

Démontrer que le quadruplet (A, B, D, E) (ou le quadrilatère ABDE) est un rectangle.

Montrer que A, B, D, E appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre J (par ses coordonnées) et le rayon par sa mesure.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{N. B.} Le candidat devra réaliser une figure soignée.
\end{document}