\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Orléans-Tours septembre 1980},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies, dans $\R$, par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\left(49- 28x + 4x^2\right) - (7 - 2x)(5 - 6x) + 21 - 6x\\
 g(x)&=&16x^2 - 25.
 \end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Développer $(7 - 2x)^2$ puis écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de polynômes du premier degré.
\item Calculer $f(0),\: f(3,5),\: f\left(\sqrt 2\right)$ et $f\left(-\dfrac12 \right)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 0$ puis
l'équation $f(x) = g(x)$.
\item On considère la fonction rationnelle $F$ définie,
dans $\R$, par
\[F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de cette fonction rationnelle.
		\item La fonction rationnelle $F'$ définie, dans $\R$, par 
		\[F'(x)= \dfrac{- 2x + 7}{4x - 5}\]

est-elle égale à la fonction $F$ ?
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonctions affines
$h$ et $k$ définies, dans $\R$ par
\begin{center}$h(x)= - 2x + 7$\quad  et \quad $k(x)= 4x - 5$.\end{center}

Résoudre l'équation $F'(x) = 1$ et expliquer comment on peut vérifier à l'aide du graphique le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij,\: 

$\left(\left\|\vect{\imath}\right\| = \left\|\vect{\jmath}\right\| = 1~\text{cm}\right)$, placer les points A, B et C définis par

\[\vect{\text{OA}} = -2\vect{\imath} + \vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OB}} = 4\vect{\imath} - 3 \vect{\jmath}\:; \quad \vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point D milieu du segment [AB].
\item Montrer que la droite (CD) est médiatrice du segment [AB]. 

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Calculer les coordonnées du point E tel que le
quadruplet (A, B, C, E) soit un parallélogramme.
\item Démontrer que le triangle (C, D, E) est un triangle rectangle isocèle. 

Déterminer le rayon $r$ et les coordonnées du centre M du cercle circonscrit au triangle (C, D, E).

Le point G$( -5~;~4)$ est-il un point de ce cercle ?
\item Donner une valeur approchée du cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACD}}$ à 0,001 près par excès, sachant que
\[2,236 < \sqrt 5 < 2,237.\]

À l'aide d'une table trigonométrique, déterminer la valeur approchée entière à un degré près par défaut de l'écart angulaire de $\widehat{\text{ACD}}$).
\end{enumerate}
\end{document}