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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants (on écrira chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible) :

\[A = \dfrac47 + \dfrac35 -\dfrac23\:;\quad B = \dfrac{77}{198} \times \dfrac{27}{182}\:;\qquad C = \dfrac{\dfrac57 + 3}{\dfrac13 - 5}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que 

\[f(x) = (x - 1)^2 + 2\sqrt 3.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Calculer $f\left(-\sqrt 3\right)$. On écrira le résultat sous la forme $a + b\sqrt 3$ avec $a$ et $b$ entiers.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessous, on a représenté une fonction affine.

Quelle est parmi les quatre propositions suivantes celle qui la définit:
	\begin{enumerate}
		\item $y = 5x$ ;
		\item $y = -3x +4$ ;
		\item $y = -\dfrac34 x + 3$ ;
		\item $y = \dfrac34 x + 3$
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-3)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-3)(7,6)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{6}{3 0.75 x mul sub}
\uput[ur](0,3){A}\uput[ur](4,0){B}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Sur une feuille de papier millimétré, dessiner un repère orthonormé (unité 1cm).

Tracer la droite (AB), ainsi que la représentation de la fonction $f$ définie par

$f(x) = 2x - 3$.
\item Déterminer par lecture d'un graphique les coordonnées approchées du point M d'intersection des deux droites précédentes.

Calculer les coordonnées exactes de M.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Factoriser les expressions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $h(x)= 16x^2 - 49$ ;
\item $g(x)= (4x - 7)(4x + 3) + 16x2 - 49$ ; 
\item $k(x)= (4x - 7)^2 - (4x - 7)(4x + 3) + 16x^2 - 49$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité choisie est le cm.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij ; $\vect{\text{O}\imath} = \vect{\text{O}\jmath} = 1$.
 
Placer les points : A$(-5~;~- 1)$; B$(-2~;~3)$; C(3~;~3); D$(0~;~- 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (A, B, C, D) est un parallélogramme.
\item Démontrer que ses diagonales sont perpendiculaires.

Préciser la nature du parallélogramme (A, B, C, D).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer A tel que OA $= 6$~cm ; I milieu de [AO].

Tracer le cercle $\mathcal{C}'$ de centre I et de rayon IA.

$\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ se coupent en T et T$'$. Tracer (OT) et (OT$'$).
\item Démontrer que (AT) et (AT') sont tangentes au cercle $\mathcal{C}$.
\item Calculer AT.
\item Trouver et justifier la mesure de $\widehat{\text{TAT}'}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Une société de vente par correspondance précise sur son catalogue que le montant $x$ des achats en Francs doit être augmenté d'une participation pour frais d'envoi.

Les frais d'envoi sont calculés de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]pas de frais si le montant des achats est supérieur ou égal à 1000 F; 
\item[$\bullet~$]20 F pour tout achat inférieur ou égal à 200 F ;
\item[$\bullet~$]10\,\% du montant x des achats dans les autres cas.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Montant des achats en F &150 	&200 	&800 	&\np{1000} 	&\np{1500}\\ \hline
 Frais d'envoi			&		&		&		&		&\\ \hline
Somme à payer			&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On désigne par $S(x)$ le montant de la somme à payer, frais d'envoi compris.

Donner l'expression de $S(x)$ dans chacun des trois cas suivants :

\[x \leqslant 200\:; \qquad 200 \leqslant x < \np{1000}\:;\qquad  x \geqslant \np{1000}.\]

\item Tracer la représentation graphique de $S$ dans un repère
orthonormé \Oij{} en choisissant $1$~cm pour $100$~F sur chacun des axes.
\item Trouver graphiquement des valeurs approchées de $x$ pour lesquelles 

\[S(x) = \np{1050}.\]

\end{enumerate}
\end{document}