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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Orléans}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans\footnote{Reims et Strasbourg} juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Soit le polynôme 
\[A(x) = (2x - 5)(3x - 4)- (2x - 5)(3x - 2) + 4x^2 - 25.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de deux binômes du premier degré en $x$.
\item Développer $A(x)$. 

Réduire et ordonner le résultat par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Calculer le plus habilement possible, pour

\[x = -\dfrac32, \qquad x = 0,\qquad x = \dfrac12, \qquad x = \sqrt 5.\]
la valeur du polynôme donné.
\item Tracer par rapport aux mêmes axes de coordonnées les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ qui représentent respectivement les variations des fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 5$\qquad et\qquad  $y_2 = 2x + 3$.\end{center}
\item Calculer les abscisses, $x_1$ et $x_2$ des points d'intersection de ces droites avec l'axe $x'\text{O}x$ et montrer que $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de l'équation $A(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A.

Soient O le centre du cercle circonscrit au triangle et H le pied de la hauteur [AH].

Le cercle de centre H et de rayon HA coupe la droite (AC) en D et la droite (AB) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la position du point O et démontrer que les points D, H, E sont alignés.
\item Démontrer que les triangles CDH et EBH sont semblables et que
\[\overline{\text{HB}} \cdot \overline{\text{HC}} = \overline{\text{HO}} \cdot  \overline{\text{HE}}.\]

Montrer que les quatre points B, C, D, E sont sur un même cercle.
\item Montrer que (OA) est perpendiculaire à (DE).

I désignant le centre du cercle passant par les points B, C, D, E, préciser la nature du quadrilatère AOIH.
\end{enumerate}
\end{document}