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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne

\[A = \dfrac23  + \dfrac{6}{27} + \dfrac79 - \dfrac73\:;\qquad B = \dfrac{1 + \dfrac13}{\dfrac35}\:;\qquad
C = 8 - 7 \times \dfrac{5}{21}.\]

Écrire $A, B$ et $C$ sous la forme d'une fraction irréductible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $f(x)$ définie pour tout nombre $x$ par 

\[f(x) = (3x - 1)^2 - (x + 2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(1,5)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Trois frères se partagent une somme de $300$ F de telle manière que les deux plus jeunes reçoivent des sommes respectivement égales au tiers et aux trois quarts de celle de l'aîné.

Quelle somme d'argent reçoit chacun d'eux ?

\bigskip

\textbf{Activités géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous représente une pyramide EABCD de base carrée ABCD et de hauteur [AE]. On rappelle dans ces conditions que le triangle AEC est rectangle en A.

On donne AE = AB $= 5$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.6)
\psline[linewidth=1.25pt](0.2,3.1)(0.2,0.2)(3.1,0.2)(0.2,3.1)(4,1.4)(3.1,0.2)%EABECB
\psline[linestyle=dashed](0.2,3.1)(1.1,1.4)(0.2,0.2)(4,1.4)(1.1,1.4)%EDACD
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.1,0.2){B} \uput[r](4,1.4){C} \uput[l](1.1,1.4){D} \uput[u](0.2,3.1){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la diagonale AC du carré ABCD. En déduire la longueur CE.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AEC}}$ (on arrondira au degré le plus proche).
\item Démontrer que le triangle EBC est rectangle en B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Placer les points A(0~;~5), B(4~;~9) et C(4~;~1) dans un repère orthonormé \Oij. (1 cm pour unité)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux. 

Calculer les distances AB et AC.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Placer le centre I du cercle circonscrit au triangle ABC. 

Démontrer que ce cercle est tangent à l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées}

\medskip

Monsieur LAVAR souhaite louer un camion. Il prend contact avec les deux entreprises de location LOCAM et LOUTOU de sa ville.

Il décide d'en étudier les différents tarifs afin de choisir le plus économique.

On se propose de l'aider dans son choix.

\textbf{A. Étude des tarifs de l'entreprise LOCAM}

\medskip

Cette entreprise propose deux tarifs:
\begin{itemize}
\item tarif 1 : 12 F par km parcouru,
\item tarif 2 : 4 F par km parcouru augmenté d'un forfait de \np{1600}~F.
\end{itemize}

(N.\:B. Un forfait est une somme fixe indépendante de la distance parcourue.)

Pour calculer le prix à payer (en francs) en fonction du
nombre $x$ de km parcourus, on peut utiliser les formules:
 pour le tarif 2

\[(1)\quad \begin{array}{l c l}A(x) &=& 12x\\
B(x) &=&4x + \np{1600}\end{array}\quad \begin{tabular}{l}pour le tarif 1\\ pour le tarif 2\\\end{tabular}\]

($x$ étant un nombre réel positif).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Tarif 1			&Tarif 2\\ \hline
$x$ en km 				&$A(x)$ en francs	&$B(x)$ en francs\\ \hline
50						&					& \\ \hline
300						&					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, les fonctions $A$ et $B$ correspondant respectivement aux tarifs 1 et 2 et définies par les formules (1).

On choisira :

\begin{itemize}
\item en abscisse, 1 cm pour représenter $50$~km ;
\item en ordonnée, 1 cm pour représenter $500$~F.
\end{itemize}

On notera respectivement $D_1$ et $D_2$ les demi-droites obtenues correspondant aux tarifs 1 et 2 .
\item Expliquer comment lire sur le graphique le nombre de kilomètres pour lequel les deux tarifs fournissent le même prix a payer.

Écrire et résoudre l'équation qui permet de retrouver ce résultat.
\item En utilisant le graphique, indiquer, selon le kilométrage $x$ à parcourir, le tarif le plus économique.
\end{enumerate}

\textbf{B }Étude du tarif de l'entreprise LOUTOU

\medskip

Cette entreprise ne propose qu'un seul tarif qu'on appellera le tarif 3.

Selon ce tarif, le prix à payer pour un kilométrage $x$ parcouru est donné par $f(x)$, où $f$ est la fonction affine telle que

\[f(100) = \np{1200} \qquad e\text{t }\qquad f(500) = \np{3600}.\]

Ceci signifie que le prix à payer pour un parcours de 100~km est de \np{1200}~F et celui à payer pour un parcours de $500$ km de \np{3600}~F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer sur le graphique précédent les points P et Q ayant respectivement pour coordonnées (100~; \np{1200}) et (500~;~\np{3600}).

Montrer que P est un point de $D_1$ et Q un point de $D_2$.
\item Quelle est la représentation graphique de la fonction $f$ ?

La tracer sur le graphique. On la notera $D_f$.
\item Établir l'expression de $f(x)$ où $x$ désigne un nombre positif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C.}

\medskip

En utilisant le graphique obtenu, indiquer, selon le nombre de kilomètres à parcourir, lequel des trois tarifs est le plus avantageux pour Monsieur LAVAR.
\end{document}