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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les nombres $A$ et $B$ suivants : 

\[A = 2 - \dfrac34 \times \dfrac{8}{21}\, ;\qquad  B = \left(\dfrac34 - \dfrac53 \right) : \dfrac{-7}{12}\]

Donner une écriture fractionnaire de chacun des nombres $A$ et $B$, le dénominateur étant un entier positif inférieur à 10.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère $C = 2 \sqrt 5+ \sqrt{125} - 6 \sqrt{45}$.

Écrire $C$ sous la forme $a \sqrt b$ , $a$ et $b$ étant deux nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\item À l'aide d'un calcul, montrer que le nombre :

$D = \left(3\sqrt 2 + 3\right)\left(\sqrt 2 - 1\right)$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne l'expression $E = 25 - (3x +2)^2$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x= - \dfrac73$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 2y &=& 36\\
4x + y &=& 37,5
\end{array}\right.$
\item À la terrasse d'un café, Paul et ses amis consomment 4 cafés et 1 jus de fruit. Ils doivent payer $37,50$ F.

À la table voisine, Pierre et ses amis consomment 2 cafés et 2 jus de fruit. Ils doivent payer $36,00$ F{}.

Comment choisir judicieusement les inconnues $x$ et $y$ pour que le
système de la question 1. traduise cette situation ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


Dans cet exercice, l'unité de mesure choisie est le centimètre. 

On considère un rectangle ABCD tel que AB $= 8$ et BC $= 5$.

Sur le segment [CD] est placé le point M tel que CM $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure sur votre copie.
\item Déterminer $\tan \widehat{\text{MBC}}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{MBC}}$ arrondie au degré près.
\item On note N le point d'intersection des droites (BM) et (AD). 

Placer ce point sur la figure.

En précisant les énoncés utilisés :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de BM.
		\item Calculer la valeur exacte de DN.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
La figure ci-contre est un assemblage de huit rectangles de mêmes dimensions que ABGF.

Par observation de la figure, répondre aux questions suivantes.

(Il n’est demandé aucune justification et il n‘est pas demandé de reproduire la figure.)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4.4,3.4)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(4.2,3.2)
\multido{\n=0.2+1.0}{4}{\psline(\n,0.2)(\n,3.2)}
\psline(0.2,1.7)(4.2,1.7)%FJ
\psline(0.2,0.2)(2.2,3.2)(4.2,0.2)%KCO
\psline(0.2,3.2)(2.2,0.2)(4.2,3.2)%AME
\uput[u](0.2,3.2){\small A} \uput[u](1.2,3.2){\small B} \uput[u](2.2,3.2){\small C}
\uput[u](3.2,3.2){\small D} \uput[u](4.2,3.2){\small E} \uput[dr](0.2,1.7){\small F}
\uput[dr](1.2,1.7){\small G} \uput[dr](2.2,1.7){\small H} \uput[dr](3.2,1.7){\small I}
\uput[dr](4.2,1.7){\small J} \uput[d](0.2,0.2){\small K} \uput[d](1.2,0.2){\small L}
\uput[d](2.2,0.2){\small M} \uput[d](3.2,0.2){\small N} \uput[d](4.2,0.2){\small O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

Quelle est l'image du triangle AFG par :

\medskip

\begin{enumerate}
\item La symétrie orthogonale d'axe (CM) ?
\item La symétrie de centre H ?
\item La translation de vecteur $\vect{\text{LN}}$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
La figure ci-après représente une partie d'un patron de pyramide régulière à base carrée.

\begin{enumerate}
\item Reproduire cette figure sur votre feuille en respectant les dimensions indiquées, puis la compléter pour obtenir un patron de la pyramide.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(6,2.9)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(2.7,2.7)
\psline(2.7,0.2)(6,1.45)(2.7,2.7)
\psline(2.7,1.45)(6,1.45)\uput[u](4.35,1.45){\small 3,5 cm}
\uput[u](1.45,2.7){\small 3 cm}
\psframe(2.7,1.45)(2.9,1.25)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume*,start=2]
\item Calculer l'aire totale du patron exprimée en cm$^2$.
\item On voudrait construire une nouvelle pyramide dont les dimensions sont le quadruple de celles de la pyramide précédente.

Quelle serait alors l'aire totale, exprimée en cm$^2$, d'un patron de la nouvelle pyramide ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Pour le représenter on choisira 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

On considère les droites suivantes :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $\Delta$ d'équation $y = 18x$ ;
\item[ ] $\Delta'$ d'équation $y = - 6x + 120$.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Afin de tracer $\Delta$ et $\Delta'$, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Soit P le point de $\Delta$ d'abscisse 5. Calculer son ordonnée.
		\item Soit Q le point de $\Delta$ d'ordonnée $180$. Calculer son abscisse.
		\item Soit R le point de $\Delta'$ d'ordonnée $120$. Calculer son abscisse.
		\item Soit S le point de $\Delta'$ d'abscisse $10$. Calculer son ordonnée.
	\end{enumerate}
\item  Dans le repère décrit au début de la première partie, construire $\Delta$ et $\Delta'$. (On utilisera une feuille de papier millimétré.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On considère le prisme droit ABCFDE dont la base est un triangle ABC rectangle en A.

L’unité étant le centimètre, on donne : AB = AD $= 6$ et AC $= 5$.

Calculer le volume $W$ de ce prisme, exprimé en cm$^3$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(3,3)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(2.2,0.2)(2.6,1.1)(0.7,3.1)(0.2,2.2)%ABEFCA
\psline(0.2,2.2)(2.2,0.2)%BC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.7,1.1)(2.6,1.1)%ADE
\psline[linestyle=dashed](0.7,1.1)(0.7,3.1)%DF
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.2,0.2){B} \uput[l](0.2,2.2){C}
\uput[dr](0.7,1.1){D} \uput[r](2.6,1.1){E} \uput[u](0.7,3.1){F}
\psframe(0.7,1.1)(0.9,1.3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On considère le parallélépipède rectangle ABEDLGHK représenté ci- contre. 

Dans ce parallélépipède, on considère le prisme droit ABMNDE dont la base est le triangle rectangle ABM.

L’unité étant le centimètre, on pose :

AB = AD $= 6$ ; AG $= 10$ ; AM $= x$ , $x$ étant un nombre compris entre 0 et10.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(3.5,5.3)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(2.2,3.7)%ABHC
\psline(2.2,0.2)(3.1,1.2)(3.1,4.7)(2.2,3.7)%BEKH
\psline(3.1,4.7)(1.1,4.7)(0.2,3.7)%KLC
\psline(0.2,2.4)(2.2,0.2)%MB
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.1,1.2)(1.1,4.7)%ADL
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.2)(3.1,1.2)%DE
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.4)(1.1,3.4)(3.1,1.2)%MNE
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.2,0.2){B} \uput[ul](0.2,3.7){C}
\uput[d](1.1,1.2){D} \uput[r](3.1,1.2){E} \uput[dr](2.2,3.7){H}
\uput[u](3.1,4.7){K} \uput[u](1.1,4.7){L} \uput[l](0.2,2.4){M}
\uput[ur](1.1,3.4){N}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en cm$^3$, le volume $U$ du parallélépipède rectangle ABEDLGHK.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en fonction de $x$, le volume $V$ du prisme ABMNDE.
		\item Vérifier que pour $x = 5$, ce volume vaut 90.
	\end{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi le volume $V'$ du parallélépipède tronqué GHKLNMBE est donné par la formule $V' = 360 - 18 x$.
\item  Pour quelle valeur du nombre $x$ a-t-on $V = \dfrac13 V'$ ? Que vaut alors
$V$ ?
\item  En observant que, pour $x$ variant de 0 à 10, la représentation graphique de $V$ est une partie de $\Delta$ et que celle de $V'$ est une partie de $\Delta'$, retrouver ainsi graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle $V = \dfrac13 V'$.
\end{enumerate}
\end{document}