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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small  Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres :

\[A = \dfrac57 - \dfrac7{26} \times \dfrac{13}{3}, \qquad  B = \sqrt{75} - 2\sqrt{108} + 9\sqrt{3}.\]

En écrivant sur votre feuille les différentes étapes de vos calculs :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une écriture fractionnaire de $A$, le dénominateur étant un nombre entier positif inférieur à $50$.
\item Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $C = (5x + 4)(2x +3) + (2x +3)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Voici, ci-après, un tableau (incomplet) concernant la répartition de la population totale par grands groupes d'âge prévue au 01/01/2020 dans le Loir-et-Cher, ainsi que la fréquence correspondante de chaque groupe.

On veut représenter cette situation par un diagramme circulaire.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge (en années) &0--19&20--59&60--74& 75 et plus&Total\\ \hline
Effectif&64 900&155 400&74700& 41 800&336 800\\ \hline
Fréquence en \% (arrondie à 0,1 près)&19,3&&22,2&&100\\ \hline
\footnotesize Angle au centre en \degres (arrondi à l’unité) du secteur correspondant du diagramme&&166&&45&360\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau.
\item Construire le diagramme circulaire des fréquences (choisir un rayon de $6$~cm et indiquer une légende claire pour la lecture du diagramme obtenu).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Éric et Marc ont réservé des places sur les mêmes gradins pour la Coupe du monde de football.
Éric a réservé 3 places pour le match d'ouverture et 4 places pour un match de quart de finale. Il a payé \np{5300} F{}.

Marc a réservé 6 places pour le match d'ouverture et 5 places pour un match de quart de finale. Il a payé \np{8020} F{}.

On note $x$ le prix d'une place pour le match d'ouverture et $y$ le prix d'une place pour un match de quart de finale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les renseignements ci-dessus par un système de deux équations à deux inconnues.
\item En résolvant ce système, déterminer le prix d'une place pour le match d'ouverture et le prix d'une place pour un match de quart de finale.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans cet exercice, l'unité de longueur choisie est le cm.

On considère un triangle TUS rectangle en S tel que STU ait pour
mesure $60\degres$ et que TS $= 2,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Montrer que UT $= 5$.
\item Placer sur la figure le point P de la demi-droite [TS) tel que TP $= 4,6$.

Placer le point R de la demi-droite [TU) tel que TR $= 9,2$.

Les droites (US) et (RP) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur le quadrillage ci-après, on a dessiné un triangle rectangle isocèle.

\begin{center}
\psset{unit=4mm}
\begin{pspicture}(20,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psdots(4,17)(8,17)(17,15)(4,13)(8,13)(4,10)%CABEDO
\pspolygon(0,15)(4,15)(2,17)
\uput[u](4,17){C} \uput[u](8,17){A} \uput[ur](17,15){B}
\uput[ul](4,13){E} \uput[ur](8,13){D} \uput[ur](4,10){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'image $T_1$ du triangle $T$ dans la symétrie de centre O.
\item Construire l'image $T_2$ du triangle $T$ dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \item Construire l'image $T_3$ du triangle T dans la rotation de centre E qui transforme C en D.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3,}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre.
On considère la pyramide PIRAT, schématisée ci-contre, de sommet T et de hauteur TR.

Cette pyramide est inscrite dans le parallélépipède rectangle IPARTUVW.

On donne :

PI = 4 AP = 3 UI = 6
\end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,5,20)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.3)(2.3,3.3)%IPVU
\psline(2.3,0.3)(3.1,1.3)(3.1,4.3)(2.3,3.3)%PAWV
\psline(3.1,4.3)(1.1,4.3)(0.3,3.3)%WTU
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.1,1.3)(3.1,1.3)%IRA
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.3)(1.1,4.3)%RT
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.1,4.3)(2.3,0.3)%ITP
\psline[linestyle=dashed](1.1,4.3)(3.1,1.3)%TA
\uput[dl](0.3,0.3){I} \uput[dr](2.3,0.3){P} \uput[r](3.1,1.3){A} \uput[dr](1.1,1.3){R}
\uput[ul](0.3,3.3){U} \uput[dr](2.3,3.3){V} \uput[ur](3.1,4.3){W} \uput[ul](1.1,4.3){T}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide PIRAT.
\item Calculer les valeurs exactes de AT et de IT, puis en donner des valeurs décimales arrondies au dixième.
\item La figure ci-après représente une partie d'un patron de la pyramide PIRAT à l'échelle 1/2.

La terminer pour obtenir le patron complet.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,5)
\psframe(0.3,4.3)(2.3,2.9)%RAPI
\psline(0.3,2.9)(0.3,0.3)(2.3,2.9)%ITP
\uput[ul](0.3,4.3){R} \uput[ur](2.3,4.3){A} \uput[l](0.3,2.9){I} \uput[r](2.3,2.9){P} \uput[d](0.3,0.3){T}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{QUESTIONS ENCHAÎNÉS}

\medskip

Dans tout le texte, l'unité de longueur est le mètre.

Pour la voilure de son bateau, un navigateur se voit proposer deux types de voile. Leur comparaison est l'objet du problème.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Premier type de voile :}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
La voile est composée d'un carré OILE et d'un triangle rectangle VOE rectangle en O tel que OI $= 3$. (Le dessin n'est pas à l'échelle.)
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.5,3.7)
\pspolygon(0.3,0.3)(2.1,0.3)(2.1,2.1)(0.3,3.2)%ILEV
\psline[linestyle=dashed](2.1,2.1)(0.3,2.1)%EO
\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5) \psframe(2.1,0.3)(1.9,0.5)\psframe(0.3,2.1)(0.5,2.3)
\uput[dl](0.3,0.3){I} \uput[dr](2.1,0.3){L} \uput[r](2.1,2.1){E} \uput[u](0.3,3.2){V} \uput[l](0.3,2.1){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit VI $= 5$.

Calculer l'aire de la voile.
\item Dans cette question, on choisit VI $= x$ ,\, $x$ étant un nombre tel que $x \geqslant 3$.

Exprimer VO en fonction de $x$.

On désigne par $\mathcal{A}_1$ l'aire de cette voile en fonction de $x$.

Montrer que $\mathcal{A}_1 = 1,5 x + 4,5$.
\end{enumerate}

\emph{Deuxième  type de voile :}

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
La voile a la forme d'un triangle rectangle en A.

On a AU = 4. On pose SA $= x$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}_2$ de cette voile en fonction de $x$.
\item Déterminer $x$ pour que l'aire $\mathcal{A}_2$ soit égale à $14$ m$^2$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(1.8,0.3)(0.3,2.8)%AUS
\psframe(0.3,0.3)(0.5,0.5)
\uput[l](0.3,0.3){A} \uput[r](1.8,0.3){U} \uput[u](0.3,2.8){S} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, le navigateur souhaite comparer les aires de deux voiles de types différents mais de même hauteur $x$ (c'est-à-dire telles que VI = SA $ = x$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer pour quelle valeur de $x$ l'aire $\mathcal{A}_2$ est égale à l'aire $\mathcal{A}_1$.
\item Résoudre l'inéquation $1,5 x + 4,5 \leqslant 2 x$.

Expliquer la signification du résultat obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J). Pour la représentation graphique, on placera l'origine en bas et à gauche sur une feuille de papier millimétré.

On choisira $1,5$ cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et $1$ cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D_1$ d'équation : $y = 1,5 x + 4,5$.
		\item Calculer l'ordonnée du point B de $D_1$ ayant pour abscisse 5.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D_2$ d'équation : $y = 2x$.
		\item Calculer l'abscisse du point C de $D_2$ ayant pour ordonnée 14.
	\end{enumerate}	
\item Retrouver, par lecture sur le graphique, la réponse à la question 1. de la deuxième partie.

Pour cela, on fera apparaître les tracés nécessaires en pointillés.
\item Pour des raisons techniques, la hauteur de voile ne peut pas dépasser $8$~m. 

Le navigateur désirant avoir une voile d'aire la plus grande possible, utiliser le graphique pour déterminer quel type de voile il doit choisir.
\end{enumerate}
\end{document}