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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}
\rfoot{\L'année 1999}
\lfoot{\small Orléans}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Orléans juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient les nombres $A$, $B$ et $C$ suivants :

\[A = \left(\dfrac13 + 3\right) : 5 \quad B = 3\sqrt2 \times 4\sqrt6 \quad C = \np{0,001125}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire, en détaillant les calculs, le nombre $A$ sous la forme $\dfrac{a}{b}$, 
$b$ étant un nombre entier non nul.
\item Écrire $B$ sous la forme $p\sqrt3$,\, $p$ étant un nombre entier.
\item Écrire $C$ sous la forme $d \times 10^n$,\, $d$ étant compris entre 1 et 9, $n$ étant un nombre entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression : $D = (2x - 1)^2 - 16$.
\item Factoriser l'expression : $E = (3x - 2)^2 - 4(3x - 2)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation : $8 - 4x \leqslant 6x - 7$.
		\item Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée, indiquant clairement la légende choisie.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation : $5(x + 2) - x \leqslant 26$.
		\item Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée, indiquant clairement la légende choisie.
	\end{enumerate}	
\item Représenter sur une droite graduée l'ensemble des solutions système d'inéquations suivant :

On indiquera clairement la légende choisie. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le parc d'une société de transport est constitué de véhicules qui ont tous parcouru \np{80000} km ou plus. Ces véhicules ont été classés en cinq catégories, selon le kilométrage parcouru.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%				&A		&B		&C		&D		&E\\ \hline
%kilométrage en milliers de km&$80 \leqslant d < 100$&$100 \leqslant d < 120$&$120 \leqslant d < 140$&$140 \leqslant d < 160$&$160 \leqslant d < 180$\\ \hline
%effectifs		&6		&21		&27		&4		&2\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

La société décide de remplacer tous les véhicules ayant parcouru \np{120000} km ou plus.

Quel pourcentage de son parc va-t-elle remplacer ?

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur la copie un repère orthonormal (O, I, J) tel que
OI = OJ $= 1$ cm et placer les points :

A(0~;~4) B(3~;~8) C(6~;~4) D(3~;~0)
\item Calculer les coordonnées du vecteur .
\item Calculer la distance AB.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un pavage du rectangle IJKL ci-après est réalisé par $24$ pièces élémentaires toutes superposables $\epsilon$ dont la forme est précisée plus loin.

Ces pièces sont numérotées de 1 à 24 et repérables par leur numéro.

La figure ci-dessous représente la pièce  qui peut être considérée comme un assemblage de trois carrés identiques.

Sur la copie, recopier et compléter les phrases suivantes en utilisant, pour les désigner, les numéros des 20 pièces du pavage. On ne demande pas de justification.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La symétrie d'axe (CD) transforme la pièce 1 en la pièce \ldots
\item La symétrie centrale de centre A transforme la pièce 1 en la pièce \ldots
\item La translation de vecteur $\vect{\text{AE}}$ transforme la pièce $10$ en la pièce \ldots
\item La rotation de centre B et d'angle $90\degres$, dans le sens des aiguilles d'une montre, transforme la pièce 8 en la pièce \ldots
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(14,10)
\psframe[linecolor=blue](8,9)
\pspolygon(12,6)(14,6)(14,4)(13,4)(13,5)(12,5)%\psline(13,6)(13,5)(14,5)
\rput(12.5,4.5){$\epsilon$}
%\psline[linecolor=yellow](1,2)(1,3)(2,3)
\def\motifa{\pspolygon[linecolor=orange](0,2)(2,2)(2,0)(1,0)(1,1)(0,1)}
\def\motifb{\pspolygon[linecolor=red](0,0)(0,2)(2,2)(2,1)(1,1)(1,0)}
\def\motifc{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2,0)(2,2)(1,2)(1,1)(0,1)}
\def\motifd{\pspolygon[linecolor=green](0,0)(2,0)(2,1)(1,1)(1,2)(0,2)}
%\psline[linecolor=red](1,2)(1,3)(2,3)
\rput(0,7){\motifb}\rput(4,7){\motifb}
\rput(0,4){\motifb}\rput(4,4){\motifb}
\rput(0,1){\motifb}\rput(4,1){\motifb}
\rput(0,6){\motifc}\rput(4,6){\motifc}
\rput(0,3){\motifc}\rput(4,3){\motifc}
\rput(0,0){\motifc}\rput(4,0){\motifc}
\rput(2,6){\motifd}\rput(6,6){\motifd}
\rput(2,3){\motifd}\rput(6,3){\motifd}
\rput(2,0){\motifd}\rput(6,0){\motifd}
\rput(2,4){\motifa}\rput(6,4){\motifa}
\rput(2,7){\motifa}\rput(6,7){\motifa}
\rput(2,1){\motifa}\rput(6,1){\motifa}
\uput[ul](0,9){I} \uput[ur](8,9){J} \uput[dr](8,0){K} \uput[dl](0,0){L}
\uput[u](4,9){C}\uput[ur](4,7){D}\uput[ur](2,6){A}\uput[ur](6,6){B}\uput[ur](4,3){E}
\rput(1.5,8.5){1} \rput(2.5,8.5){2} \rput(5.5,8.5){3} \rput(6.5,8.5){4}
\rput(0.5,6.5){5} \rput(3.5,6.5){6} \rput(4.5,6.5){7} \rput(7.5,6.5){8}
\rput(0.5,5.5){9} \rput(3.5,5.5){10} \rput(4.5,5.5){11} \rput(7.5,5.5){12}
\rput(1.5,3.5){13} \rput(2.5,3.5){14} \rput(5.5,3.5){15} \rput(6.5,3.5){16}
\rput(1.5,2.5){17} \rput(2.5,2.5){18} \rput(5.5,2.5){19} \rput(6.5,2.5){20}
\rput(1.5,0.5){21} \rput(3.5,0.5){22} \rput(4.5,0.5){23} \rput(7.5,0.5){24}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Un artisan dispose d'un bloc de pierre ayant la forme d'un parallélépipède rectangle dont l'une des faces est un carré. Il désire façonner ce bloc de pierre afin de réaliser un trophée, constitué d'une pyramide régulière à base carrée posée sur un socle.
Les figures ci-après représentent le bloc de pierre avant façonnage
(figure 1) puis le trophée après mise en place du socle (figure 2).

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(15,11)
%\psgrid
\psframe(5,9)%ABFE
\psline(5,0)(7,1.8)(7,10.8)(5,9)%BCGF
\psline(7,10.8)(2,10.8)(0,9)%GHE
\psline(0,6)(5,6)(7,7.8)%STU
\psline[linestyle=dashed](0,6)(2,7.8)(7,7.8)%SVU
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,1.8)(7,1.8)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,1.8)(2,10.8)%DH
%\psline(0,6)(7,7.8)\psline(5,6)(2,7.8)
%\psline(5,9)(2,10.8)\psline(0,9)(7,10.8)
\psline[linestyle=dashed](3.5,6.9)(0,0)%MA
\psline[linestyle=dashed](3.5,6.9)(5,0)%MB
\psline[linestyle=dashed](3.5,6.9)(7,1.8)%MC
\psline[linestyle=dashed](3.5,6.9)(2,1.8)%MD
\psline[linestyle=dashed](3.5,9.9)(3.5,0.9)%IJ
\uput[d](0,0){A} \uput[d](5,0){B} \uput[dr](7,1.8){C} \uput[dr](2,1.8){D} \uput[d](3.5,0.9){I}
\uput[l](0,6){S} \uput[dr](5,6){T} \uput[r](7,7.8){U} \uput[l](2,7.8){V} \uput[ur](3.5,6.9){M}
\uput[l](0,9){E} \uput[u](5,9){F} \uput[u](7,10.8){G} \uput[u](2,10.8){H} \uput[u](3.5,9.9){J}
\uput[r](7,9.3){Bloc B2}\uput[r](7,4.8){Bloc B1}\uput[d](3.4,0){\emph{Figure } 1} \uput[d](12.4,0){\emph{Figure } 2}
%%%%%%%%
\psframe(9,0)(14,3)
\psline(14,3)(16,4.8)(12.5,10.8)(14,3)(12.5,10.8)(9,3)%BCMB
\psline(14,0)(16,1.8)(16,4.8)
%\psline(9,0)(12.5,10.8)%MA
\psline[linestyle=dashed](9,0)(11,1.8)(11,4.8)(12.5,10.8)%
\psline[linestyle=dashed](9,3)(11,4.8)(16,4.8)
\psline[linestyle=dashed](11,1.8)(11,4.8)
\psline[linestyle=dashed](11,1.8)(16,1.8)
\uput[r](15.8,3.3){Bloc B2}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

Description de la figure 1

ABCDHEFG représente le parallélépipède rectangle de base carrée ABCD. Il est scié dans le plan STUV parallèle à la base ABCD, ce qui dégage deux blocs :

\begin{itemize}
\item le bloc B1 qui est un parallélépipède rectangle ABCDVSTU à base carrée qui servira à tailler la pyramide régulière ABCDM,
\item le bloc B2 qui est un parallélépipède rectangle STUVHEFG qui servira de socle à la pyramide comme représenté par la figure 2.
\end{itemize}

Les points I et J sont les centres respectifs des carrés ABCD et EFGH.

On admettra que (IJ) est parallèle à (AE), que IJ = AE et que le centre M du carré STUV est un point du segment [IJ].

L’unité de longueur choisie est le cm et l'unité de volume est le cm$^3$.

On donne AB = BC $= 6$ ; AE $= 12$.

On pose MJ $= x$.

\bigskip

\textbf{Première  partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que $x = 1$.

Calculer pour cette valeur de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item le volume de la pyramide ABCDM,
		\item le volume du socle correspondant.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $x = 5$.

Calculer pour cette valeur de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item le volume de la pyramide ABCDM,
		\item le volume du socle correspondant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans toute la suite, on considère que, pour des raisons esthétiques, $x$ doit être compris entre 1 et 5.
Le but des questions qui suivent est de déterminer par deux méthodes s'il existe une valeur de $x$ pour laquelle la pyramide et le socle correspondant ont même volume.

\textbf{Première méthode :}

\begin{enumerate}
\item Calculer MI en fonction de $x$.
\item Montrer que le volume V de la pyramide ABCDM s’exprime en fonction de $x$ par la formule :
$V = 144 - 12x$.
\item Montrer que le volume $V'$ du bloc B2 s'exprime en fonction de $x$ par la formule :
$V' = 36x$.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $V = V'$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième méthode :}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Pour le représenter sur une feuille de papier millimétré, on placera l’origine en bas à gauche de la feuille.

On prendra comme unités graphiques :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : $2$ cm pour $1$ unité,
\item sur l'axe des ordonnées : $1$ cm pour $10$ unités.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans ce repère la droite (D) d'équation $y = - 12x + 144$, ainsi que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 36x$.
\item Par lecture graphique, et en faisant apparaître les constructions nécessaires sur le graphique, indiquer la valeur de $x$ pour laquelle la pyramide et son socle ont même volume. 

Conclure par une phrase.
\end{enumerate}
\end{document}