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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Orléans}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Orléans septembre 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{(3x + 1)^2 - (2x - 5)^2}{(5x - 4)(x - 3) + (5x - 4)(2x + 1) -(5x - 4)(x - 5)}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser le numérateur et le dénominateur.
\item Déterminer l'ensemble de définition de $F(x)$, simplifier $F(x)$.
\item Calculer la valeur numérique de $F(x)$  pour 
\[x = \sqrt 3 - 1.\]
\item Résoudre l'équation $F(x)  = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, [OC] le rayon  perpendiculaire à [AB], M le milieu de [AC] et [MN] la corde parallèle à (AB) ; (MN) et (MB) coupent le rayon [OC] respectivement en H et P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que N est le milieu de l'arc $\wideparen{\text{BC}}$.
\item Montrer que le triangle MPC est isocèle et que les trois points A, P et C appartiennent à un cercle de centre M.
\item Comparer les triangles MPC et OMC et en déduire que CM est moyenne proportionnelle entre CP et CO.
\item Quelle est la nature du triangle OMH ?

Calculer MH, OH et CH en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}