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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Orléans-Tours}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Orléans-Tours septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\section{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Problème I}

\medskip

Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[f(x) = 5x^2 - 7x + 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $a$ et $b$ étant deux réels quelconques, calculer $f(a)-f(b)$.
		\item Factoriser l'expression obtenue pour $f(a) - f(b)$.
		\item Résoudre dans R : $f(a)- f(b)= 0$.
		
En déduire que $f$ n'est pas une bijection.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $(5x - 2) (x - 1) = f(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ : \:
		
		\[f(x) = 0 \qquad  f(x) > 0\]
	\end{enumerate}
\item Calculer $(2), \: f\left(- \dfrac35\right)$.

Calculer $f\left(\sqrt 3 + 1\right)$ et $f\left(\dfrac25 - \sqrt 3\right)$.

Rapprocher les résultats obtenus de la question \textbf{1. c.} ci-dessus, et faire les remarques
qui vous paraissent intéressantes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème II}

\medskip

Une mère demande à son enfant d'aller lui acheter 5 kg de poires et 3 kg de pommes.

Elle lui remet $50$~F{}, somme représentant exactement l'achat à effectuer.

L'enfant confond poires et pommes, il rapporte 3 kg de poires, 5 kg de pommes et 4 F !

\medskip

Grâce à ces informations, calculer le prix du kg de poires, du kg de pommes.

\bigskip

\section{\textbf{GÉOMÉTRIE}}

\medskip

\textbf{Problème III}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On donne les points A$(1~;~-1)$, \: B(5~;~3) et C(4~;~0) , ou la notation ~ $M(x~;~y)$ désigne
le point $M$, de coordonnées $x$ et $y$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C, et calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
\item Calculer les coordonnées du point D tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Montrer que les droites (CM) et (AB) sont orthogonales.

Calculer d(B, C).

En déduire d(A, C) et d(A, D).
\item On considère la symétrie centrale de centre M, notée $S_{\text{M}}$.

Soit E l'image de C par la symétrie centrale $S_{\text{M}} (\text{E} = S_{\text{M}}(\text{C}))$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de E.
		\item Que peut-on dire du quadrilatère (A, E, B, C) ?
	\end{enumerate}
\item Montrer que A est le milieu du segment [DE].

Que peut-on dire du triangle (D, E, C) ?
\item Calculer le cosinus de l'écart angulaire $\alpha$ de l'angle géométrique $\widehat{\text{CDE}}$, puis donner la valeur approchée par défaut à 1 degré près de cet écart angulaire.
\end{enumerate}

\medskip

N.B. - \emph{Le candidat devra illustrer le problème par une figure soignée.}

\emph{Document autorisé : tables trigonométriques.}

\end{document}