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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Outre-Mer juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x + 1)(x + 3)- (x + 3)^2 + x^2 - 9\:\text{et}\\
B(x) &=& (2 - x)(2x + 1)+(x - 2)^2.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer les expressions $A(x)$ et $B(x)$ et ordonner les polynômes obtenus.
\item Mettre chacune des expressions $A(x)$ et $B(x)$  sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Résoudre les équations $A(x) = 0$ et $B(x) = 0$.
\item Simplifier la fraction rationnelle $y = \dfrac{A(x)}{B(x)}$ et
calculer $y$ pour $x = 1$ et pour $x = - 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB], de rayon $R$ et l'on trace le rayon [OC] perpendiculaire à [AB].

Un point M est choisi sur [OC] et (AM) recoupe le demi-cercle en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AOM et APB.

En déduire une relation entre AO, AM, AB et AP.
\item Montrer que les quatre points O, B, P et M sont sur un même cercle.
\item On suppose maintenant que la projection H du point P sur (AB) est au milieu de [OB].

Calculer, en fonction du rayon $R$ du cercle donné, les longueurs de AP, PB et AM.
\item Montrer que, dans ce cas, MB est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ABP}}$. En déduire la mesure en degrés des angles en A et enB du triangle APB.
\end{enumerate}
\end{document}