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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Aix-en-Provence (Outremer)}
\lfoot{\small septembre 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-en-Provence (Outremer) septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ donnée par
\[f(x) = (3x - 5)^2 - (3x - 5)(x + 8) + 9x^2 - 25.\]

\begin{enumerate}
\item Ecrire $f(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(-3) ;\quad f\left(\dfrac53\right)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2< 1,415$, donner un encadrement de f(v'ï) à 10-1 près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit la fonction rationnelle $F$ donnée par
\[F(x) = \dfrac{(x + 3)(x - 5) + (x + 3)^2}{(x + 3) (2x - 1)}.\]

\begin{enumerate}
\item Après avoir donné l'ensemble de définition de $F$, simplifier $F(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations
\[F(x) = 0 \quad ; \quad F(x) = - \dfrac12.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, on considère les points A, B, C, D tels que

\begin{center}$\vect{\text{OA}} =-2\vect{\imath} + 4\vect{\jmath} ;\quad \vect{\text{OB}} =-\vect{\imath} - 3 \vect{\jmath} ;\quad\vect{\text{OC}} =-3\vect{\imath} + \vect{\jmath} ;\quad\vect{\text{OD}} = 6\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}.$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (CD).

Le point O appartient-il à cette droite?
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{CD}}$ ; en déduire que les droites (AC) et (CD) sont orthogonales.
\item Calculer $d$(OC) ;\: d(OB) ; \:d(BC).

Quelle est la nature du triangle (O, C, B) ?
\item Démontrer que les droites (AC) et (OB) sont parallèles. 
\item Calculer le sinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ADC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}