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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Pakistan}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pakistan juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x - 1)^2 - (x -3)^2,\\
g(x)&=&(x + 2)^2 - (2x +4)(x - 5).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Calculer $g(-10),\: g\left(\dfrac12\right)$ et $g\left(1 - \sqrt 2\right)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation 
\[f(x) = g(x).\]

\item On considère la fonction rationnelle $h$ définie par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer son ensemble de définition et simplifier $h(x)$.
\item On considère les fonctions affines $a$ et $b$ telles que
\begin{center}$a(x) = 3x -4$ \quad et \quad $b(x) = - x + 12$.\end{center}

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, construire les représentations graphiques respectives $(D)$ et $\left(D'\right)$ des fonctions $a$ et $b$.

Résoudre graphiquement le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y &=&3x -4,\\
y &=&-x + 12.
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points

\begin{center}A$(-2~;~4)$,\qquad B$(-3~;~2)$ \quad et \quad C(6~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du centre D et le rayon du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle (A, B, C).
\item Soit E l'image de A dans la symétrie centrale de centre D. 

Calculer les coordonnées de E.

Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, E, C) ?
\item Soit F$( -1~;~-3)$.

F est-il un point du cercle $\mathcal{C}$ ?
\item Soit G(2~;~2) et H(4~;~6).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (HG) est la médiatrice
du segment [AC].
		\item Démontrer que la droite (HG) passe par le point D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}