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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Paris--Créteil}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris--Créteil septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $A, B, C$ et $D$ (on donnera les résultats sous la forme la plus simple possible).

\[\begin{array}{l @{\qquad}l}
A = \dfrac53  - \left(\dfrac{7}{12} - \dfrac34\right)&B = \dfrac{12}{5} \times \dfrac73\\
C = \dfrac{14}{15} : \dfrac{7}{12}&D = \dfrac{54 \times 10^{-1} - 83 \times 10^{-2}}{10^{-2}}.
\end{array}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose :
\begin{center}
$x = \sqrt 2\left(1 + \sqrt 6\right)$\quad  et \quad $y = 2 - \sqrt 6$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer : $x^2, y^2$.

On donnera les résultats sous la forme $a + b\sqrt 6$, où $a$ et $b$ sont des entiers.

Vérifier que $x^2 + y^2$ est un nombre entier.
\item Si $x$ et $y$ représentent les longueurs, en centimètres, des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, quelle est la longueur de l'hypoténuse de ce triangle ? 

On donnera le résultat exact, puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Factoriser : $E = (x - 7)(x + 12) - (2x + 1)(x - 7)$.

Résoudre l'équation : $E = 0$.

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit le triangle ABC, rectangle en A. L'unité de longueur étant le centimètre, on a :
\begin{center} AB $= 4$ \quad et \quad AC $= 8$.\end{center}

Faire une figure.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par le calcul, la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$, à $1\degres$ près.
\item Construire le point I de la droite (AC) tel que CI = CA. 

On laissera apparents les tracés de construction.
\item La parallèle à la droite (AB) passant par I coupe le segment [BC] en J.

Calculer la valeur exacte de IJ.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La pyramide régulière SABCDEF a pour base l'hexagone régulier ABCDEF, dont chaque côté mesure 4 cm, et pour hauteur le segment [SO] mesurant $5$~cm.

\medskip
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item On se propose de tracer, en vraie grandeur, le patron de cette pyramide.

Commencer par tracer l'hexagone ABCDEF. 

Sur une figure annexe, représenter, en vraie grandeur, le triangle SOE. 

Achever ensuite le patron de la pyramide.
\item Vérifier que l'aire de l'hexagone ABCDEF est égale à
$24\sqrt 3$ cm$^2$.

Calculer le volume de la pyramide (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,1 cm$^2$ près).
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.2)(2.5,3.7)
\pspolygon(-2.1,0)(-1.4,-0.9)(1.4,-0.9)(2.1,0)(0,3.3)%AFEDSA
\psline[linestyle=dashed](2.1,0)(1.4,0.9)(-1.4,0.9)(-2.1,0)%DCBA
\psline[linestyle=dashed](0,3.3)(0,0)(1.4,-0.9)%S0E
\psline[linestyle=dashed](1.4,0.9)(0,3.3)(-1.4,0.9)%CSB
\psline(1.4,-0.9)(0,3.3)(-1.4,-0.9)%ESF
\psline(0,0.2)(0.2,0.08)(0.2,-0.1)
\uput[l](-2.1,0){A} \uput[dr](-1.4,0.9){B} \uput[dl](1.4,0.9){C} \uput[r](2.1,0){D}
\uput[d](1.4,-0.9){E} \uput[d](-1.4,-0.9){F} \uput[l](0,0){O} \uput[u](0,3.3){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Au cours d'une saison annuelle, le centre culturel municipal propose 20 spectacles. n offre à ses auditeurs trois formules :

Formule A : Un forfait unique de 960 F permet d'assister à autant de spectacles que l'on désire.

Formule B : On paie un abonnement annuel de 300 F, puis 55 F par spectacle.

Formule C : On paie 115 F par spectacle.

\medskip

Le but de ce problème est de déterminer la formule la plus avantageuse en fonction du nombre de spectacles auxquels on souhaite assister.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de spectacles &4 &10 &14\\ \hline
Dépense avec la formule A&&&\\ \hline
Dépense avec la formule B&&&\\ \hline
Dépense avec la formule C&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour généraliser, on appelle $x$ le nombre de spectacles sélectionnés. 

Exprimer, en fonction de $x$, les dépenses $y_{\text{A}}$,\: $y_{\text{B}}$ et $y_{\text{C}}$ correspondant respectivement au choix des formules A, B et C.
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal d'origine O. 

Sur la feuille de papier millimétré jointe à l'énoncé, marquer le point O en bas et à gauche de la partie quadrillée.

On choisit 1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour
$100$~F sur l'axe des ordonnées.

Tracer les droites :

$D_{\text{A}}$ d'équation: $y = 960$,

$D_{\text{B}}$ d'équation : $y = 55x + 300$,

$D_{\text{C}}$ d'équation: $y = 115x$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection M des droite $D_{\text{A}}$ et $D_{\text{B}}$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection N des droites $D_{\text{B}}$ et $D_{\text{C}}$.
\item Par lecture graphique, déterminer, suivant le nombre de spectacles auxquels on assiste, la formule la plus avantageuse pour le spectateur.
\end{enumerate}
\end{document}