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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $A$ la fonction polynôme définie, pour tout
réel $x$, par
\begin{center}$A(x) = 64 - 9x^2$.\end{center}

Mettre $A(x)$ sous forme d'un produit de deux
polynômes du premier degré.
\item Soit $B$ la fonction polynôme définie, pour tout
réel $x$, par
\begin{center}$B(x) = x(49 + 12x) + 50 + (3x +7)(2 - x)$.\end{center}

Développer, réduire et ordonner ce polynôme. 

En déduire qu'il est le carré d'un polynôme du premier degré.
\item Quel est l'ensemble de définition $E$ de la fonction
rationnelle $h$ définie par

\[h(x) = \dfrac{B(x)}{A(x)}.\]

Le réel $x$ appartenant à $E$, simplifier $h(x)$, puis calculer $h(- 3)$ et $h(0)$.
\item Résoudre dans l'ensemble $E$, l'équation
\[h(x) = 0.\]

\item Résoudre, dans l'ensemble $\R$ l'inéquation 
\begin{center}$A(x) > 0$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien (P) rapporté à un repère orthonormé \Oij, on place les points A, B et C définis par leurs coordonnées:
\begin{center}A$(2~;~- 1)$,\qquad  B(6~;~1),\qquad C(4~;~5).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$ ainsi que les normes de ces vecteurs. 

En déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle : chacune de ce deux affirmations sera justifiée.
\item On appelle I le milieu du bipoint (A, C) et J le milieu du bipoint (A, B). 

Trouver les coordonnées de points I et J.

La droite (BI) et la droite (CJ) ont pour intersection le point G.

Quelle est l'abscisse de G ? 

En déduire le nombre réel $m$ tel que $\vect{\text{GM}} = m .\vect{\text{GI}}$.

On pourra considérer les projections orthogonales des points B et I sur l'axe $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$, puis énoncer et appliquer l'axiome de Thalès.

\item Trouver les coordonnées du point D, symétrique de B par rapport à I. 

Montrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un carré.
\item Soit E le point défini par $\vect{\text{DE}} = 4\vect{\imath} - \vect{\jmath}$.

Montrer que les cinq points (A, B, C, D, E) appartiennent à un cercle de centre I, dont on précisera le rayon.
\item Soit $u$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ECA}}$. 

Calculer, au choix, le sinus, le cosinus ou la tangente de cet écart angulaire $u$, et donner de $u$ la valeur approchée en degrés, à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}