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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$, deux réels ; on définit l'application
affine $g$, de $\R$ dans $\R$, par

\[g(x) = ax + b.\]

Calculer les réels $a$ et $b$, sachant que $g(0)= - 2$ et $g(3) = 4$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire, dans un repère orthonormé du plan, les représentations graphiques 
$(D)$ et $(\Delta)$ des applications affines $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par

\[\begin{array}{l c l r}
f(x)&=& -\dfrac12 x + 3&\quad (D)\\
g(x)&=&\phantom{-}2x - 2& (\Delta).
\end{array}\]

		\item Quelle constatation peut-on faire sur la position relative de $(D)$ et $(\Delta)$ ? 
		
Pouvait-on le prévoir ? Pourquoi ?
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection M des droites $(D)$ et $(\Delta)$.
		\item Résoudre graphiquement, dans $\R$,\: $f(x)\leqslant 0$,
		
dans $\R \times \R$\: $y + \dfrac12 x - 3 < 0$,

en indiquant clairement la légende utilisée, on pourra
donner cette réponse sur la figure construite au 2. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Il sera tenu compte de la figure que l'on construira avec soin dans un repère (O, I, J) orthonormé du plan, longueur du segment unité : 1 cm.

\emph{Notation} : pour tout couple (A, B) de points du plan, la distance de A à B est notée AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta$ parallèle à (OI) passant par J et le cercle de centre
 O et de rayon 2.

H est le point d'abscisse positive, intersection du cercle et de la droite $\Delta$.

H est le projeté orthogonal de C sur (OI).

B est le point de (CH) tel que $\vect{\text{HB}} = 3\vect{\text{HC}}$.

A est le symétrique de O par rapport à H.

D est le symétrique de C par rapport à H.

Placer ces cinq points.
\item Démontrer que OH $= \sqrt 3$.

Déterminer les coordonnées de H, A, B, C, D, puis les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle (A, O, B).
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre C passant par A, O et B et les tangentes $D_1$ et $D_2$ à $\mathcal{C}$ en A et B.

P est leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'ordonnée de P ?
		\item Calculer l'abscisse de P en utilisant l'orthogonalité de $\vect{\text{PA}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Montrer que les points O, P et C sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
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