\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Paris juin 1973},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1973}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les deux (onctions polynômes, $f$ et $g$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
x \longmapsto f(x) &=& x^2 - 9 - (2x - 6)(3x - 1)\: \text{et}\\
x \longmapsto g(x) &=& 5(x - 3) (1 - x).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Ces fonctions polynômes sont-elles égales ?

On montrera que l'expression de $f(x)$ peut être transformée par une factorisation.
\item Trouver les solutions entières de l'équation $g(x) = 0$.
\item Calculer $f\left(\dfrac13\right)$ et $g\left(\sqrt 3\right)$.

Pour cette dernière valeur numérique, après en avoir
trouvé la valeur exacte, on utilisera l'encadrement $1,132 < \sqrt 3< 1,733$ pour en donner la valeur décimale approchée par défaut à un dixième près.
\item Résoudre, dans l'ensemble des réels, l'inéquation
\[(x - 3) (1 - x) \geqslant 0.\]

Représenter sur une droite ($\Delta$) munie d'un repère
$\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ l'ensemble des images des solutions du système : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
(x - 3) (1 - x) &\geqslant& 0,\\
2x-5 &\geqslant& 0.
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} -- Les quatre parties du problème sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On donne, dans un plan $(P)$, un repère orthonormé \Oij

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C déterminés par leurs coordonnées:
\begin{center} A$(- 1~;~3)$,\quad  B(6~;~2)\quad  et \quad C(5~;~5).\end{center}

\item Quelles sont les coordonnées du milieu, I du segment [AB] ?

Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [OC] ?

Quelle propriété peut-on en déduire pour le quadrilatère 
(O, A, C, B) ?

Rappel :  un quadruplet est un ensemble ordonné de quatre points.
\item Calculer les distances $d$(O, A), $d$(O, B), $d$(O, C)
et $d$(A, B).

(On pourra les désigner par OA, OB, OC et AB.

Montrer que les vecteurs $\vect{\text{DA}}$ et $\vect{\text{OB}}$ sont orthogonaux.

Quelle nouvelle propriété en résulte-t-il pour le quadruplet (O, A, C, B) ?
\item Dans le triangle rectangle (OAB) donner les valeurs de $\cos \widehat{\text{OAB}}$ et $tan \widehat{\text{OAB}}$.

À l'aide des tables de valeurs numériques, donner ensuite les valeurs approchées entières, en degré de l'écart angulaire de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}