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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris juin 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le produit 
\[\left(x^2 - 9\right)(x + 1)\]
 et l'ordonner par rapport à $x$.
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré chacune des deux expressions

\[\begin{array}{l c l}
A &=&x^3 + x^2 - 9x - 9,\\
B &=& (x - 2)^2 - (x - 4)^2.
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction $F = \dfrac AB$.
\item Montrer que, si $x$ est remplacé par un nombre entier pair, la fraction $F$ est irréductible, tandis que, si $x$ est remplacé par un nombre entier impair, la fraction $F$ devient un nombre entier.

(On peut même assurer que ce nombre entier est pair.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soient une droite $xy$ et un point A dont la distance à $xy$ est AH $= 6$~cm.

De part et d'autre de (AH), on trace deux demi-droites
d'origine A, coupant $xy$ en B et C et telles que $\widehat{\text{HAB}} = 45\degres$ et $\widehat{\text{HAC}} = 30\degres$.

Le cercle de diamètre [AH] coupe (AB) en D, (AC) en E.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs  AB, AE, AC.
\item Montrer que les triangles ABC et ADE sont semblables.

Calculer la valeur du rapport de similitude et la longueur du segment [DE].
\item Soit F le point diamétralement opposé à D ; quelle est, en degrés, la mesure de l'angle $\widehat{\text{DFE}}$ ?

Calculer la valeur du sinus de $75\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}