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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Paris}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère tous les rectangles dont le périmètre mesure $300$~mètres.

On désigne par $y$ et $x$ les dimensions d'un de ces rectangles, exprimées en mètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que $y - z = 2 x$,\: $x$ étant une longueur donnée en mètres, calculer $y$ et $z$ en fonction de $x$.
\item Représenter graphiquement les fonctions $y$ et $z$ ainsi obtenues ; les graphiques seront faits à l'échelle $\dfrac{1}{\np{1000}}$ ; on portera $x$ en abscisse, $y$, puis $z$, en ordonnée.

On n'oubliera pas de limiter les graphiques.

Ces graphiques seront dessinés sur la feuille de papier quadrillé à 5 millimètres qui sera fournie aux candidats.
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du rectangle qui a pour dimensions $y$ et $z$.

Trouver les dimensions du rectangle qui a pour aire \np{46,7019}~ares,

\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère le cercle de diamètre [AA$'$] donné, de centre O, et une corde [BC] de ce cercle, qui pivote autour du milieu P de [OA$'$].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur quelle ligne se déplace le milieu, M, de [BC] ?
\item Soit [AH] la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

La droite (A$'$M) coupe la droite (AH) en D.

Prouver que AD $= 2$ OM.
\item Montrer que les triangles POM, OAD, sont semblables et en déduire la ligne sur laquelle D se déplace.
\item Montrer que le quadrilatère A$'$CDB est un parallélogramme ; en déduire que D est l'orthocentre du triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}