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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip


%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les produits 
\[(5x - 3)(x + 1),\qquad (2x - 1) (x + 1).\]

Exprimer les résultats sous la forme de polynômes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item En utilisant les calculs précédents, montrer l'identité des deux expressions
\[\begin{array}{l c l}
y_1&=& \left(5x^2 + 2x - 3\right)^2 - \left(2x^2 + x - 1\right)^2,\\
y_2&=& (x + 1)^2\left[(5x - 3)^2 - (2x - 1)^2\right]
\end{array}\]

et écrire chacune d'elles sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $y_1 = y_2= 0$ ?
\item Calculer $y_1$ (ou $y_2$) pour $x = 0$, pour $x = -1$, pour $x = \sqrt 2 - 1$.
\item Simplifier la fraction

\[F = \dfrac{(7x - 4)^2 (3x - 2)^2}{\left(5x^2 + 2x - 3\right)^2 - \left(2x^2 + x - 1\right)^2}\]

Indiquer pour quelles valeurs de $x$ cette simplification n'est pas légitime et chercher pour quelle valeur de $x$ elle est égale à 21.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Le côté d'un triangle équilatéral ABC est mesuré par $a$.

Soit I le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $a$ le rayon de ce cercle inscrit, son aire et la portion de l'aire du triangle ABC extérieure au cercle inscrit.
\item On considère les cercles tangents au côté [BC] en son milieu M, qui coupent les côtés [AB] et [AC], et dont les centres sont situés à l'intérieur du triangle ABC.

Quel est le lieu géométrique de leurs centres ?

Quelles sont les expressions, en fonction de $a$, des rayons du plus petit et du plus grand de ces cercles ?
\item Soit T le point de contact, autre que M, d'un tangente menée de B à l'un de ces cercles.

Exprime BT en fonction de $a$.

Quel est le lieu géométrique du point T ?

Donner l'expression, en fonction de $a$, de la longueur de ce lieu géométrique.

\end{enumerate}

\smallskip


\end{document}