\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Paris juin 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un automobile dont le réservoir a une capacité de $60$~litres consomme en moyenne $12$~litres d'essence aux $100$~kilomètres,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité d'essence $y$ (exprimée en litres) consommée pour un parcours de  $x$ km.

Représenter graphiquement $y$ en fonction de $x$.
\item Calculer- la quantité d'essence $y'$ (litres) qui reste dans le réservoir, supposé plein au départ, après un parcours de $x$~km.

Représenter graphiquement, en utilisant les mêmes axes qu'au  1. les variations de $y'$ en fonction de $x$.
\item Utiliser le graphique précédent pour déterminer à quel moment la voiture doit faire demi-tour pour avoir juste assez d'essence pour revenir au point de départ.

Pouvait-on prévoir le résultat ?
\item Par  suite d'un avarie, la consommation moyenne d'essence devient brusquement en cours de trajet égale à 15~litres aux $100$ km.

Dans ces conditions le réservoir, plein au départ, est vide au bout de $450$~km.

Déterminer par le calcul, puis graphiquement à quelle distance du point de départ a eu lieu l'avarie.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne trois points alignés B, O, C dans cet ordre, tels que BO $= 3$ cm et OC $= 4$~cm.

Sur la perpendiculaire en O à la droite (BC), on porte, d'un même côté de (BC), les longueurs OA $= 6$~cm et OD $= 2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AOC et OBD sont semblables.

En déduire que (BD) est perpendiculaire à (AC), et (CD) perpendiculaire à (AB).
\item (BD) et (AC) se coupent en E, (CD) et (AB) en F.

Montrer que les quatre points A, E, D, F sont sur un même cercle ($\mathcal{C}$) de centre I et les points B, F. E, C sur un même cercle ($\mathcal{C}'$) de centre J.

Préciser les positions des points I et J.
\item Montrer que les droites (IE) et (IF) sont tangentes aux cercle ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$).
\end{enumerate}
\end{document}