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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation 
\[\dfrac{1 + x}{3 + x} = \dfrac23.\]

\item Est-il possible d'ajouter un nombre entier $x$ aux deux termes de la fraction $\dfrac15$ pour obtenir une fraction double de celle-ci ?
\item Est-il possible d'obtenir une fraction triple de la fraction $\dfrac13$ en ajoutant un même nombre $x$ à se deux termes ?
\item Résoudre graphiquement et algébriquement le système
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)& y &= & 3x + 3,\\
(2)& y &= & 2x + 6.
\end{array}\right.\]

Comparer les valeurs de $x$ trouvé dans les questions 1. et 4.

Expliquer le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit ABCD un quadrilatère convexe dont l'angle $\widehat{\text{A}}$ est droit et dont les côtés consécutifs [AB], [BC], [CD], [DA] mesurent respectivement $3,6$~cm, $8$~cm, $10$~cm et $4,8$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la diagonale [BD] mesure $6$~cm.
\item Les côtés de chacun des triangles ABD et BDC étant classés par ordre de longueur croissante, comparer les rapports des côtés correspondants.

Comparer les triangles ABD et BDC et montrer que les angles $\widehat{\text{AOB}}$ et $\widehat{\text{BCD}}$ sont égaux.
\item Le cercle circonscrit au triangle DBC recoupe la droite (AB) en E.

Montrer que (AD) est tangente à ce cercle et calculer AE.
\end{enumerate}
\end{document}