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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soient deux axes rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.

En prenant le centimètre comme unité, mener par le point de coordonnées (4~;~0) la parallèle $\left(D_1\right)$ à $y'\text{O}y$ et par le point de coordonnées $(0~;~- 3)$ la parallèle $\left(D_2\right)$ à $x'\text{O}x$.

Quelles sont les équations des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ?

Sur le même graphique, tracer la droite $\left(D_3\right)$ qui représente les variations de la fonction $y = \dfrac43 x + 2$.
\item Les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupant en A et la droite $\left(D_3\right)$ coupant $\left(D_1\right)$ en B et $\left(D_2\right)$ en C, quelles sont les coordonnées des points A, B, C ? 
\item La droite $\left(D_3\right)$  coupant $x'\text{O}x$ en M et $y'\text{O}y$ en N, on prolonge [MN] d'une longueur NP égale à 4 MN.

Quelles sont les coordonnées de P ?
\item Déterminer les équations des droites (OP) et (AP).
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un rectangle ABCD, tel que 
\begin{center} AB = CD $= 3a$,\quad  BC = DA $= 4a$,\end{center}
$a$ désignant une longueur donnée.

On prolonge la diagonale [AC] d'une longueur CO $= 3a$ puis, par O on mène la perpendiculaire à (AC), qui coupe (CD) en L, (BC) en M et (DA) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire exactement la figure en supposant que $a = 1,4$ centimètre.
\item Comparer les triangles DCA et OCL.

Quelle est la longueur OL ?

En recherchant, dans la figure, des triangles semblables, calculer OM et ON.
\item Montrer que [NC) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ONM}}$.

On trace le cercle de centre M, de rayon MN, qui coupe (ON) en P.

Montrer que ce cercle est tangent à la droite (CD) et calculer OP.
\item Calculer l'aire du quadrilatère ABLP.

Déterminer la longueur $a$ de telle façon que cette aire soit égale à \np{4587,52} centimètres carrés.
\end{enumerate}
\end{document}