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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Paris }}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright}\\[5pt]
Paris juin 1962}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

On considère les droites $E_1$ ayant pour équation
$y = ax + 1$ et les droites $E_2$ ayant pour équation 
$y = x +b$.
\begin{enumerate}
\item  Construire les deux droites $E_1$ telles que
\[a = 2,\hspace{7em}a = 0.\]
\item Construire les deux droites $E_2$ telles que
\[b = 2,\hspace{7em} b = 0.\]
\item Montrer que les droites $E_1$ passent par un point
fixe, que l'on déterminera.
\item Montrer que les droites $E_2$ varient en restant
parallèles à une direction fixe.
\item Une droite $E_1$ peut-elle être confondue avec une
droite $E_2$ ? Pour quelles valeurs de $a$ et de $b$?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip
Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Deux points, M et N, situés sur le demi-cercle au-dessus de [AB], sont tels que le quadrilatère AMNB soit un
trapèze.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle particularité présente le trapèze AMNB ?

Calculer, en fonction de $R$, la longueur du côté [MN], celle de la hauteur [MH]
et des diagonales, dans les deux cas suivants :

\[AM = R, \hspace{7em} AM =\dfrac{R}{2}\]

\item Les côtés [AM] et [BN] se coupent en P et les diagonales
en S.

Que dire du point S par rapport au triangle PAB ?

Dans le cas où AM $= R$, calculer OP et OS.
\item Si M et N varient sur le demi-cercle, montrer que P et S restent sur une droite fixe.
\end{enumerate}
\end{document}