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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Paris}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Quatre nombres, $m,\: n,\: x,\: y$, forment une proportion :

\[\dfrac mn = \dfrac xy.\]

\begin{enumerate}
\item Peut-on en déduire que les quatre nombres $3 m,\:
3n,\: 2x,\: 2y$ forment aussi une proportion ?
\item Peut-on en déduire que les quatre nombres $\dfrac m4,\:
2n,\: \dfrac x4, \:2y$ forment une proportion ?
\item Que peut-on dire du produit $nx$, lorsque $m = y$ ?
\item Calculer $y$ dans les cas suivant
	\begin{enumerate}
		\item $m = 4,\quad n = 3,\quad x = 8$ ;
		\item $m = -\dfrac43, \quad  n = -2,\quad x = - 5$.
\end{enumerate}
\item De la proportion $\dfrac mn = \dfrac xy$ déduire que

\[\dfrac {mx}{ny} = \dfrac {m^2}{n^2}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle équilatéral ABC.

Une demi-droite issue de A, intérieure à l'angle $\widehat{\text{A}}$ du triangle, coupe le segment [BC] en N et le cercle circonscrit au triangle ABC en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABN et ABP sont semblables.

En déduire que le produit AN $\times$ AP reste constant lorsque P varie sur $\wideparen{\text{BC}}$.

Comparer les triangles AMC et ANC.

En déduire que l'on a
\begin{center}AC$^2  =$ CN $\cdot $AM.\end{center}
\item Que peut-on dire de la position du cercle circonscrit au triangle BNP par rapport au côté [AB] ?

Même question pour la position du cercle circonscrit au triangle CNP par rapport au côté [AC].
\end{enumerate}
\end{document}