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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris\footnote{Amiens} juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE} 

\smallskip

On donne les deux polynômes suivants: 
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& 16x^2 +24x +9,\\
B(x)&=&9x^2 - 12x + 4.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $y(x) = A(x) - B(x)$ sous forme d'un polynôme ordonné.

Calculer sa valeur numérique à moins de 0,01 près pour
\[x= \dfrac{2}{\sqrt 3 + 1}.\]
\item Écrire chacun des polynômes $A(x)$ et $B(x)$ sous la forme du carré d'un binôme, puis mettre $y$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Simplifier la fraction rationnelle 
\[F(x) = \dfrac{7x^2 + 36x + 5}{x^2 - 25}.\]

Pour quelles valeurs de $x$ la fraction simplifiée est-elle égale à 1 ; à 0 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne deux cercles (O) et (O$'$), de centres O et O$'$ t de rayons R  $= 5$~cm, R$' = 3$~cm, tangents intérieurement en T.

Soit ABT le diamètre commun [A sur (O) et B sur (O$'$)].

On mène la corde [CD] perpendiculaire au milieu M de [AB].

CT recoupe le cercle (O$'$) en E.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Nature du quadrilatère ACBD.
\item Démontrer que les trois points D, B, E sont alignés.
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{MED}}$ et $\widehat{\text{O}'\text{ET}}$ sont
égaux.

En déduire que (ME) est tangente au cercle (O$'$).
\item Calculer la longueur des segments [MO], [ME] et [CD].

\end{enumerate}
\end{document}