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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item De la proportion $\dfrac ab = \dfrac cd$ déduire
\[\dfrac ac = \dfrac  bd = \dfrac{a+2b}{c + 2d}.\]

\item En utilisant la question 1., résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac xy&=&\dfrac53,\\
x + 2y&=& 12.
\end{array}\right.\]

\item Trouver le terme inconnu dans la proportion 2
\[\dfrac{3,2}{z} = \dfrac{\frac25}{0,6}.\]
\item Calculer $m$ tel que 
\[\dfrac 3m = \dfrac m7.\]
Donner le résultat à $0,01$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit le cercle (O), de centre O et de rayon $R$, [AB] un de ses diamètres. On trace un rayon [OC], tel que
$\widehat{\text{BAOC}} = 30\degres$, puis le rayon [OD] perpendiculaire à [AB] et du même côté que [OC] par rapport à [AB].

La tangente en B au cercle (O) coupe la droite (OC) en E ; la tangente en D au cercle (O) coupe la droite (OC) en F.

Les droites (AF) et (OD) se coupent en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs BE, OE, DF, OF.
\item Démontrer que les deux triangles AOK et DKF sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?
\item Dans quel rapport le point K divise-t-il le segment [OD] ?

Calculer en fonction de $R$ les longueurs KO et KD.


\end{enumerate}
\end{document}