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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Paris}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Paris juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&\left(x - \dfrac12\right)^2 - \dfrac94,\\
B(x) &=& (x - 2)(2x + 1) + (x - 4)(x - 2)- (x - 2)^2
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ; à quelle condition cette simplification est-elle possible ?
\item Soit la fraction $F(x) = \dfrac{x + 1}{2x- 1}$ ; quelle est sa valeur 
numérique pour $x =- 1$; pour $x = \dfrac12$ ?

Déterminer $x$ pour que $F(x) = 1$.
\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y = x + 1$\qquad  et \qquad $y =2x - 1$.\end{center}

Vérifier sur ce graphique le dernier résultat du paragraphe précédent.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle quelconque ABC inscrit dans un cercle de centre O.

Les hauteurs [BB$'$] et [CC$'$] de ce triangle se coupent en H.

La droite B$'$C$'$ coupe le cercle circonscrit en M et N et (AH) coupe (BC) en A$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère BC$'$HA$'$ est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre. 


\begin{center}AC$' \times$ AB = AH $\times$  AA$'$.\end{center}
\item Démontrer que le quadrilatère BC$'$B$'$C est inscriptible dans un cercle , dont on précisera le centre.

En déduire que  $\widehat{\text{AC}'\text{B}'} = \widehat{\text{ACB}}$.
\item Démontrer que B$'$C$'$ est parallèle à la tangente en A au cercle de centre O.
\item Montrer que les arcs $\wideparen{\text{AM}}$ et $\wideparen{\text{AN}}$ sont égaux et 
que le triangle AMN est isocèle.
\item Comparer les triangles AMC$'$ et ABM et démontrer que l'on a

\begin{center}AM$^2 =$ AC$' \times$ AB = AH $\times$ AA$'$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}