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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On suppose le plan rapporté à un repère orthonormé d'axes $x'\text{O}x,~y'\text{O}y$ ; l'unité de longueur est le centimètre.


\begin{enumerate}
\item Sur l'axe $x'\text{O}x$, on considère les points A et B, d'abscisses respectives $- 2$ et $+ 8$, et un point M d'abscisse $x$.

Déterminer l'abscisse $x$ de façon que la relation suivante, entre les mesures algébriques des vecteurs $\vect{\text{MA}}, \:\vect{\text{MB}}$ et $\vect{\text{AB}}$ soit vérifiée : 
\[6\overline{\text{MA}} + 9\overline{\text{MB}} = 4\overline{\text{AB}}.\]

Évaluer le rapport $\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}}$.

Trouver l'abscisse, $x'$, du point M$'$ de $x'\text{O}x$ défini par la relation
\[\overline{\text{OM}} \cdot \overline{\text{OM}'} = \overline{\text{OA}} \cdot \overline{\text{OB}}.\]
\item Construire, dans le repère précédemment défini,
les droites $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 2x + 4$ et $\left(D_2\right)$ d'équation $y = - \dfrac12 x + 4$.

Calculer les coordonnées du point C, intersection de ces deux droites ; trouver les équations des droites (CM) et (CM$'$).
\item De la relation $\overline{\text{OA}} \cdot \overline{\text{OB}} = - \overline{\text{OC}}^2$, que l'on vérifiera, déduire la nature des triangles ACB et MCM$'$.

Calculer les longueurs des côtés [CA] et [CB] et montrer que CB$ = 2$ CA.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

L'unité de longueur étant le centimètre, on considère le cercle de centre O, de rayon 6.

On trace un diamètre [AB] de ce cercle et, sur le rayon [OA], on place le point H tel que 

OH $= 4$.

La perpendiculaire-à (AB) en H coupe le cercle en C et en C$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments AH, AC, BC et HC.
\item La tangente en C au cercle (O) coupe la droite (AB) en P.

Comparer les triangles OCH et OCP.

En déduire les longueurs des segments [PC] et [PO].
\item Quel rôle CA et CB jouent-ils dans le triangle PCH ?
\end{enumerate}
\end{document}