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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne un polynôme, $P(x)$, de la variable $x$ sous la forme suivante: 

\[P(x) = 4x^2 - \dfrac14 + (4x + 1)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre le polynôme $P(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item On désigne par $F(x)$ la fraction rationnelle suivante:

\[F(x) = \dfrac{P(x)}{5x + \dfrac34}.\]

Quel est son domaine de définition ?

Dans ce domaine, mettre $F(x)$ sous une forme plus simple.

Résoudre l'équation $F(x) = 1$.
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé (unité de longueur: le centimètre).

Construire la représentation graphique $\left(D_1\right)$ de la fonction
$y = 2x + 2$.

Soit A et B les points de cette droite $\left(D_1\right)$ d'abscisses respectives $- 1$ et $+ 2$.

Calculer les coordonnées du milieu K du segment [AB].
\item Trouver l'équation de la droite $\left(D_2\right)$ passant par le point K et perpendiculaire à la droite $\left(D_1\right)$ puis tracer la droite $\left(D_2\right)$ sur le graphique précédent.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

L'unité de longueur est le centimètre.

On considère le cercle de centre O et de rayon 3 ; la corde [AB] de ce cercle est le côté d'un carré inscrit dans le cercle.

On place sur la droite (AB), le point P, tel que B soit le milieu de [AP].

Les tangentes au cercle passant par P touchent le cercle en M et N (M est situé sur le petit arc $\wideparen{\text{AB}}$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [AB], [PM] et [OP] (on se bornera aux valeurs exactes).
\item La corde [MN] coupe (OP) en I.

Montrer que les triangles (OMP) et (OIM) sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?

Calculer les longueurs des segments [OI], [MI] et [IP] (se borner aux valeurs exactes).
\item Calculer l'aire du triangle (MNP) en centimètres carrés (l'exprimer par un nombre décimal).
\item Utiliser les tables trigonométriques pour trouver les mesures des angles du triangle (OMP) (on en donnera la valeur approchée par défaut en degrés, après avoir calculé $\tan \widehat{\text{MOP}}$).
\end{enumerate}
\end{document}