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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f, g$ et $h$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&9 - 4x^2,\\
g(x)& =& (2x - 3)(5x - 1) - (x + 1)(2x - 3),\\
h(x)& =& (2x - 3)^2 + 15 - 10x.
\end{array}\]

\smallskip



\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres $a = f\left(\dfrac52\right)$ et $b = f\left(1 - \sqrt 3\right)$.

Montrer que le nombre $b$ est compris entre 6 et 7.

Rappel : $1,732< \sqrt 3 < 1,733$.
\item Mettre chacune des trois fonctions polynômes sous la forme d'un produit de fonctions polynômes du premier degré.
\item On désigne par $P$ la fonction polynôme définie par 
\[P(x) = f(x) + g(x) - h(x).\]

Calculer $P(x)$.

Montrer que $P$ est du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ les équations
\begin{center}$P(x) = 6$ (une solution)\quad  et \quad $|P(x)|= 6$ (deux solutions)\end{center}

$|P(x)|$ désigne la valeur absolue du réel $P(x)$.
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes. La question 2. est utile, mais non nécessaire pour la question 3.

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère quatre points de ce plan, donnés par leurs coordonnées
\begin{center}A(1~;~3),\quad  B$(-2~;~-1)$,\quad C$(3~;~-1)$\quad  et\quad  D(6~;~3).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces quatre points.

Calculer les coordonnées du milieu, M, du segment [AC] et celles du milieu, M$'$ du segment [BD].

Quelle information tire-t-on de la comparaison de ces résultats?
\item Montrer que les bipoints (A, D) et (B, C) sont des
représentants d'un même vecteur $\vect{u}$.

Donner les coordonnées du vecteur $\vect{u}$ et sa norme, c'est-à-dire la distance
des points B et C.
\item Calculer la distance AB.

En déduire que les points A et C sont symétriques par rapport à la droite (BD).

Citer deux triangles isométriques.
\item On considère le point H$(1~;~- 1)$.

Montrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales.

Dans le triangle ABH, calculer le cosinus de l'écart angulaire de $\widehat{\text{HBA}}$, puis donner une valeur approchée entière en degrés de cet écart.
\end{enumerate}
\end{document}