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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Paris juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

On considère les polynômes $P$ et $Q$ :
\[\begin{array}{l c l}
P(x) &=& - 2(x - 3)^2 +(x - 3) (4x - 3) + \left(x^2 - 9\right)\\
Q(x) &=& x^2 -  4
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Réduire et ordonner le polynôme $P$.
\item Montrer que $P$ est le produit de polynômes du premier degré : 
\[P(x) = (3 x - 9) (x + 2).\]

Montrer que $Q$ est lui aussi le produit de deux polynômes du premier degré.
\item Résoudre l'équation $P(x) = Q(x)$ où l'inconnue est le réel $x$.
\item Résoudre les systèmes d'inéquations, où l'inconnue est le réel $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item  $\left\{\begin{array}{l c l}
x - 3&<&0\\
x + 2&<&0
\end{array}\right.$
		\item $\left\{\begin{array}{l c l}
x - 3&>&0\\
x + 2&>&0
\end{array}\right.$

Dire ensuite quels sont les entiers $x$ pour lesquels la valeur numérique
du polynôme $P$ est négative ou nulle.
\item Le plan est muni d'un repère orthonormé (axes rectangulaires
$x'\text{O}x, y'\text{O}\text{O}y$ ; longueur unité sur les deux axes: le centimètre), 

Construire les droites $D_1$ et $D_2$ qui admettent pour équation : 
\[\begin{array}{l c l}
y = 3x - 9	& \text{pour}& D_1\\
y = x - 2	& \text{pour}& D_2
\end{array}\]

Sans nouveau calcul, trouver l'abscisse de leur point commun A.

Calculer ensuite l'ordonnée du point A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

On choisit dans le plan un repère orthonormé défini comme précédemment.

Placer les points A, B, C donnés par leurs coordonnées :
\begin{center}A$(- 2~;~2)$, \quad B(1~;~5), \quad BC(3~;~3).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les longueurs des côtés [AB], [BC] et [AC] du triangle ABC ?

En déduire que ce triangle est rectangle,
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AC] ; montrer que M appartient à la droite (OB).

Montrer que le quadrilatère ABCO est un rectangle,
\item On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre M, tel que O appartienne à ce cercle.

Montrer que les points A, B, C appartiennent au cercle $(\mathcal{C})$.

Soit D la projection orthogonale du point B sur l'axe $x'\text{O}x$.

Montrer que D appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
\item Soit $u$ la mesure en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{OBD}}$.

Calculer $\tan u$, puis trouver (à l'aide des tables trigonométriques) la valeur approchée par défaut à une unité près du nombre $u$.
\end{enumerate}
\end{document}