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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Paris--Créteil--Versailles}
\lfoot{\small juin 1977}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris--Créteil--Versailles juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies par 

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 2x^2 + 4x + 2\\
g(x) &=&x^2 - 9 - (2x + 6)(x - 1) - (x + 1)(x + 3)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes $f(x)$ et $g(x)$.
\item Calculer $g\left(\dfrac25\right)$ ; on donnera le résultat sous la forme d'un nombre
décimal.
\item Soit $q$ la fonction rationnelle définie par
 \[q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_q$ de la fonction rationnelle $q$.
		\item $x$ étant élément de $\mathcal{D}_q$, simplifier $q(x)$ ; on trouvera
\[q(x) = - \dfrac{x + 1}{x + 3}.\]

		\item Calculer $q\left(\sqrt 2\right)$.
		
Écrire le résultat sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est rationnel.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ donner la valeur approchée de $q\left(\sqrt 2\right)$ à un centième près par défaut.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, les équations 
\begin{center}$q(x) = 1$ \qquad et \qquad $q(x) = - 1$.\end{center}
		\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} construire les représentations graphiques $C_1$ et $C_2$ des fonctions $h_1$ et $h_2$ respectivement définies par
\begin{center}$h_1(x) = |x+1|$\qquad et \qquad $h_2(x) = |x + 3|$\end{center}
		\item Déterminer l'ensemble $C_1 \cap C_2$.

Pouvait-on prévoir ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. 

Les points A et B sont définis par leurs coordonnées:

\begin{center}A(4~;~0)\quad ;\quad B (0~;~2)\end{center}

Le point C appartient à l'axe $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ et son abscisse inconnue est désignée par $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $x$ de façon que le triangle (A, B, C) soit rectangle en B.
\item Déterminer par ses coordonnées le point D, tel que le quadruplet (A, B, C, D) soit un rectangle.

On trouvera pour les coordonnées de D le couple $(3~;~-2)$.
\item Il existe un cercle (I) circonscrit au rectangle (A, B, C, D).

Le définir par les coordonnées de son centre I et la mesure de son rayon, $r$.
\item Le cercle (I) coupe l'axe $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$ en deux points: B , déjà connu, et un point E .

Quelles sont les coordonnées de E ?
\end{enumerate}
\end{document}