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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Paris}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Certains jours, un particulier effectue un trajet donné en autocar.

La compagnie de transport propose trois formules :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Formule A : le billet ordinaire, sans réduction, valable pour un trajet, coûte $4$~F{}.
\item[$\bullet~~$]Formule B : la carte \og à demi-tarif \fg{} coûte $30$~F par mois (à chaque trajet, le voyageur dépense seulement $2$~F pour l'achat d'un billet).
\item[$\bullet~~$]Formule C : la carte \og d'abonnement\fg{} (qui permet d'effectuer le trajet sans achat de billet) coûte $80$~F par mois.
\end{itemize}

On désigne par $n$ le nombre de jours où le voyageur fait son trajet habituel dans le mois et par $p$ la somme dépensée, en francs, dans le mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la formule la plus avantageuse dans chacun des trois cas suivants: 
	\begin{enumerate}
		\item $n = 30$ ?
		\item $n = 20$ ?
		\item $n = 10$ ?
	\end{enumerate}
\item Exprimer $p$ en fonction de $n$ :
	\begin{enumerate}
		\item Lorsque le voyageur adopte la formule A ; 
		\item Lorsqu'il adopte la formule B.
	\end{enumerate}
\item Dessiner deux axes perpendiculaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ en prenant 5 cm pour  10 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

Tracer les ensembles suivants :

$E = \{(M(x~;~y) | 0 \leqslant x \leqslant 30,\: y = 4x\}$

$F = \{(M(x~;~y) | 0\leqslant x\leqslant 30,\: y = 2x + 30\}$

$G = \{(M(x~;~y) | 0\leqslant x\leqslant 30,\: y = 80\}$.

Les ensembles $E$ et $F$ ont-ils un point commun ? 

Si oui, quelles sont ses coordonnées ?

Même question pour $F$ et $G$.
\item En expliquant comment le graphique peut être utilisé pour répondre à cette question, indiquer, suivant les valeurs de l'entier naturel $n$\: $(n\leqslant30$), quelle formule est plus avantageuse ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Activités géométriques}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points

\begin{center}A$(-2~;~5)$,\quad B$(0~;~-5)$,\quad C$(2~;~-7)$,\quad D(0~;~3).\end{center}

(Unité : 1 cm.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?

\item Le point E est défini par $\vect{\text{DE}} = \dfrac32\vect{\text{AD}}$.

Démontrer que ses coordonnées sont 3 et $0$ et qu'il appartient à la médiatrice du segment [A, C].
\item On désigne par F le symétrique de E par rapport au milieu M de [A, C]. 

Démontrer que B, F et C sont alignés.
\item L'unité choisie étant le degré, on désigne par $u$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{MAE}}$. 

Calculer $\sin u$ et, en utilisant une table de rapports trigonométriques, encadrer $u$ par deux entiers consécutifs. 

(On donne $2,236 < \sqrt 5 < 2,237.$)
\item Quelles sont les coordonnées des points G et H communs à l'axe des ordonnées et au cercle de diamètre [E, F] ?
\end{enumerate}
\end{document}