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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1984}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris juin 1984 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $P(x) = (3x - 1)^2 -  9x^2 + 1 - (x - 5)(3x - 1).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $P(x)$.

En déduire l'image de $0$ par $P$ et trouver les antécédents du nombre réel $(- 3)$.
\item Factoriser $P$ en un produit de fonctions affines. 

En déduire les antécédents du nombre réel $0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une société de transport offre à sa clientèle les possibilités suivantes :

\begin{itemize}
\item Option A : tarif normal à $6$~F le kilomètre,
\item Option B :une carte d'abonnement de $540$~F puis un tarif réduit à $3$~F le kilomètre.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer pour chaque option le prix du transport pour un trajet de $150$~km.

Même question pour un trajet de 250 km.

Préciser dans chaque cas la solution la plus avantageuse.
\item Si $x$ le nombre de kilomètres effectués, exprimer en fonction de $x$ la somme $s_1$ à payer pour l'option A et la somme $s_2$ à payer pour l'option B.
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'option A est-elle plus avantageuse que l'option B ?
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Représenter graphiquement $s_1$ et $s_2$.

On prendra en abscisse 1 cm pour $50$~km et en ordonnée 1 cm pour représenter $100$~F.
\item Retrouver graphiquement les résultats de la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(1~;~0) ; B$(4~;~- 2)$ ; C$(- 5~;~4)$.
\item Montrer que les points A, B, C sont alignés.
\item Soit D(3~;~3). 

Montrer que les vecteurs $\vect{\text{CA}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux.

Placer le point D sur le dessin.
\item Calculer AD et AB. 

Quelle est la nature du triangle BAD ?
\item Soit C$'(- 5~;~0)$. Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{CAC}'}$.

En déduire une mesure à un degré près par défaut de l'angle $\widehat{\text{CAC}'}$.
\end{enumerate}
\end{document}