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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Paris}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Paris\footnote{Créteil, Versailles} juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 

\[f(x) = 9x^2 - 16 -(3x - 4)(x + 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Mettre $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f( -1),\: f(0),\: f\left(- \dfrac16\right)$.
\item $f$ est-elle une bijection ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui sont égaux ? Justifier les réponses.


\[A = \dfrac{1}{\sqrt 2 + \sqrt 3}, \qquad  B = \sqrt 3 - \sqrt 2, \qquad C = \dfrac{1}{\sqrt 5}, \qquad D = \dfrac{\sqrt 5}{5}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère \Oij.

Soit $D_1$ la droite dont une équation est

\[3x-2y+4 = 0,\]

et $D_2$ la droite dont une équation est 

\[-x + \dfrac23 y + 2 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Indiquer si les points A$(-1~;~0,5)$ et B$(-2~;~5)$ appartiennent à $D_1$.
\item Déterminer l'abscisse du point C de $D_2$ dont l'ordonnée est $- 3$.
\item Construire les droites $D_I$ et $D_2$.

Que peut-on dire de ces droites ?
\item Déterminer une équation de la droite (AB).
\item Déduire, de ce qui précède, les solutions, si elles
existent, dans $\R \times \R$ des systèmes :

\[(1) \left\{\begin{array}{l c l}
3x - 2y + 4 &=& 0\\
- x + \dfrac23 y + 2 &=& 0
\end{array}\right. \qquad (2) \left\{\begin{array}{l c l}
3x-2y + 4&=&0\\
4,5x + y + 4&=&0.
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un cercle de centre O et de rayon 3. 

Placer sur ce cercle deux points A et B tels que $d$(A, B)$= 4$, puis le point C tel que [BC] soit un diamètre de ce cercle.
\item Que peut-on dire du triangle ABC ?
Calculer $d$(A, C), puis le sinus de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$.

En déduire la valeur approchée, en degrés, à $1\degres$ près par défaut, de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$.
\item Construire le point D tel que $\vect{\text{BD}} = 2\vect{\text{BA}}$.

Calculer $d$(A, D), $d$(C, D) et une valeur approchée, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{BCD}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}